Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный металлический стержень согнули посередине, поместили между двумя опорами и удерживают в покое, приложив вертикальную силу $P$ к правому по рисунку концу горизонтального плеча стержня (см. рис.). Масса стержня $m = 1$ кг, коэффициент трения скольжения стержня по опорам $\mu = 0{,}56$

Найдите модуль наименьшей силы $P$ Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Без силы $P$ стержень просто съедет вниз между опорами. Как сила $P$ может помочь трению? В модели нажми на конец с разной силой и сравни, сколько трения нужно и сколько опоры могут дать.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУдержать стержень

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Удержать стержень

Нажимай на конец горизонтального плеча с разной силой. С какой силы опоры начинают удерживать стержень?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Найди силу давления на опоры из моментов относительно сгиба и сравни нужное трение с 2μN.

Подсказка 1

Опоры давят на вертикальное плечо горизонтально, а трение направлено вертикально вверх. Горизонтальные силы равны: $N_1 = N_2 = N$ Найди $N$ из правила моментов относительно точки сгиба.

Подсказка 2

Относительно сгиба: $N\cdot a = \dfrac{mg}{2}\cdot\dfrac{a}{2} + P\cdot a$ , где $a$ — длина плеча. Трение обеих опор вместе не больше $2\mu N$ а нужно $mg + P$

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия и рисунка. Стержень согнут посередине под прямым углом, вертикальная сила $P$ приложена к концу горизонтального плеча. Опоры касаются вертикального плеча: верхняя — у его конца справа, нижняя — у сгиба слева.
Допускаем. Толщину стержня не учитываем, сила $P$ направлена вниз. Предельное трение покоя на каждой опоре равно $\mu N$ с данным коэффициентом трения скольжения $\mu=0{,}56$ — иначе по одному $\mu$ скольжения наименьшую силу найти нельзя.
Как это влияет на ответ. $P_{\min}=\dfrac{mg\,(2-\mu)}{2(2\mu-1)}$ убывает с ростом $\mu$ при большем коэффициенте трения покоя хватило бы силы меньше $60$ Н. При $\mu\le\dfrac12$ удержать стержень вертикальной силой нельзя ни при каком $P$

Какие силы действуют

Пусть длина каждого плеча $a$ (стержень согнут посередине), на каждое плечо приходится масса $\dfrac{m}{2}$

Сила тяжести вертикального плеча $\dfrac{mg}{2}$ приложена к его середине, горизонтального — к середине горизонтального плеча, на расстоянии $\dfrac{a}{2}$ от сгиба.
Сила $P$ — вниз на конце горизонтального плеча.
Опоры касаются вертикального плеча, поэтому их силы реакции $N_1$ (верхняя, влево) и $N_2$ (нижняя, вправо) горизонтальны.
Силы трения $F_1$ и $F_2$ направлены вдоль вертикального плеча — вверх, иначе стержень съедет.

Сила давления на опоры

Горизонтально действуют только $N_1$ и $N_2$ значит, $N_1 = N_2 = N$

Запишем правило моментов относительно точки сгиба. Силы $N_2$ $F_2$ $F_1$ и сила тяжести вертикального плеча проходят через сгиб или лежат на линии вертикального плеча — их моменты равны нулю. Остаются $N_1$ (плечо $a$ ) против силы тяжести горизонтального плеча (плечо $\dfrac{a}{2}$ ) и силы $P$ (плечо $a$ ):

N a=\frac{mg}{2}\cdot\frac{a}{2}+Pa\quad\Rightarrow\quad N=P+\frac{mg}{4}.

Чем сильнее давят на конец, тем сильнее стержень прижимается к опорам.

Условие, что трения хватает

По вертикали трение должно уравновесить вес и силу $P$

F_1+F_2=mg+P.

Каждая сила трения покоя не больше $\mu N$ вместе — не больше $2\mu N$

mg+P\le 2\mu\left(P+\frac{mg}{4}\right).

Наименьшая сила

Переносим $P$ в одну сторону:

P(2\mu-1)\ge mg\left(1-\frac{\mu}{2}\right),\qquad P\ge \frac{mg\,(2-\mu)}{2(2\mu-1)}.

При $\mu = 0{,}56$ $2\mu - 1 = 0{,}12$

P_{\min}=\frac{10\cdot 1{,}44}{2\cdot 0{,}12}=60\ \text{Н}.

Решение существует только при $\mu > \dfrac12$ иначе с ростом $P$ нужное трение растёт быстрее, чем возможное.

Проверка

При $P = 60$ Н: $N = 60 + 2{,}5 = 62{,}5$ Н, максимум трения $2\cdot 0{,}56\cdot 62{,}5 = 70$ Н, нужно $10 + 60 = 70$ Н — ровно граница. При $P = 50$ Н нужно $60$ Н, а опоры дают лишь $2\cdot 0{,}56\cdot 52{,}5 = 58{,}8$ Н — стержень съедет.

Ответ

$P_{\min}=\dfrac{mg\,(2-\mu)}{2(2\mu-1)}=60$ Н.

Ответ

$P_{\min}=\dfrac{mg\,(2-\mu)}{2(2\mu-1)}=60$ Н.

Главная идея

Сила, приложенная к рычагу, прижимает тело к опорам и увеличивает возможное трение. Удобно брать моменты относительно точки, через которую проходят неизвестные силы.

Тело держится трением о две опоры, а прижимает его к ним момент внешней силы: найди силу давления из моментов, затем сравни нужное трение с 2μN.

Где легко ошибиться

Считать, что сила $P$ только мешает (тянет вниз), и искать $P$ из равенства $mg + P = \mu mg$ На самом деле $P$ через рычаг сильнее прижимает стержень к опорам.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 4836 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4837, 4838, 4839) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: N₁ = N₂, F₁ + F₂ = mg + P; N₂a = ½mg·(a/2) + Pa (моменты относительно нижней опоры); F₁ = μN₁, F₂ = μN₂; P = mg·(1 − μ/2)/(2μ − 1)).

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Начальный вход

Правило моментов
Сила трения покоя не больше μN
Центр тяжести однородного стержня

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил · Оценка и достижимость

Задать вопрос по задаче →