Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

На верхнем участке горизонтальной поверхности горки два школьника движутся на санках (см. рис.) на расстоянии $l_0 = 2$ м друг от друга со скоростью $V_0 = 5$ м/с. После спуска с горки школьники движутся на санках по горизонтальной поверхности, здесь расстояние между санками $l = 6$ м.

Найдите высоту горки. Горка гладкая. Движение по горке безотрывное. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Форма горки не дана — значит, она не важна. Что одинаково у двух санок, если они едут по одной и той же гладкой горке друг за другом? В модели подбери высоту горки так, чтобы внизу расстояние стало $6$ м.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСанки с горки

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Санки с горки

Подбери высоту горки так, чтобы внизу санки оказались на расстоянии l. Что при этом не меняется?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Найди, на сколько секунд вторые санки отстают от первых наверху, и сравни с отставанием внизу.

Подсказка 1

Вторые санки проходят каждую точку горки ровно через одно и то же время после первых: $\tau = \dfrac{l_0}{V_0}$ Ведь обе едут по одному пути с одной и той же начальной скоростью.

Подсказка 2

Внизу оба едут с одной скоростью $V$ и расстояние между ними $l = V\tau$ Отсюда $V = V_0\dfrac{l}{l_0}$ Высоту найди из закона сохранения энергии.

Разобрать решение по шагам

Одинаковое запаздывание

Обе санки едут по одной и той же гладкой горке, и в каждой точке у них одинаковая скорость (она зависит только от высоты). Значит, вторые санки повторяют движение первых с одним и тем же запаздыванием

\tau=\frac{l_0}{V_0}=\frac{2}{5}=0{,}4\ \text{с}.

Это время, за которое вторые санки проезжают расстояние $l_0$ наверху.

Скорость внизу

Внизу обе санки едут с одной скоростью $V$ и вторые отстают на те же $\tau$ секунд. Значит, расстояние между ними

l=V\tau,\qquad V=\frac{l}{\tau}=V_0\frac{l}{l_0}=5\cdot\frac{6}{2}=15\ \text{м/с}.

На склоне расстояние растёт потому, что первые санки уже разгоняются, а вторые ещё едут медленно.

Высота из закона сохранения энергии

Горка гладкая, сопротивления нет, поэтому

\frac{V^2}{2}=\frac{V_0^2}{2}+gh,\qquad h=\frac{V^2-V_0^2}{2g}=\frac{225-25}{20}=10\ \text{м}.

Проверка

Если бы горки не было ( $h=0$ ), скорость не изменилась бы и расстояние осталось бы $l_0$ Чем выше горка, тем больше скорость внизу и тем больше расстояние — направление зависимости правильное. При $h = 10$ м: $V = \sqrt{25 + 200} = 15$ м/с, $l = 15\cdot 0{,}4 = 6$ м.

Ответ

$h=\dfrac{V_0^2}{2g}\left(\dfrac{l^2}{l_0^2}-1\right)=10$ м.

Ответ

$h=\dfrac{V_0^2}{2g}\left(\dfrac{l^2}{l_0^2}-1\right)=10$ м.

Главная идея

Два тела, которые одинаково движутся по одному пути друг за другом, проходят каждую точку с одним и тем же запаздыванием по времени. Расстояние между ними пропорционально скорости.

Колонна машин, санки, вагоны на одной трассе: расстояние между ними меняется вместе со скоростью, а запаздывание по времени — нет.

Где легко ошибиться

Считать, что расстояние между санками сохраняется, или применять энергию к «расстоянию». Сохраняется время запаздывания $\tau$ а не расстояние.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 4832 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4833, 4834, 4835) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: l/√(V₀² + 2gh) = l₀/V₀; h = V₀²/(2g)·[(l/l₀)² − 1]).

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Начальный вход

Равномерное движение
Закон сохранения механической энергии

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →