Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Вертикальные цилиндры установлены в вакуумной камере. Цилиндры соединены горизонтальной трубкой с краном, в цилиндрах вода (см. рис.). В точке А гидростатическое давление $P_А = 4$ кПа, в точке В гидростатическое давление $P_В = 1$ кПа. Площади поперечного сечения: левого цилиндра $S_А = 4$ см $^2$ правого $S_В = 8$ см $^2$ Через некоторое время после открытия крана движение жидкости прекращается.

Найдите гидростатическое давление, которое установится у дна цилиндров. Ответ приведите в [кПа] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Давление у дна в вакууме создаёт только столб воды. Что сохраняется, когда вода перетекает? В модели открой кран и посмотри, на сколько опускается уровень в узком цилиндре и поднимается в широком.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОткрыть кран

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Открыть кран

Открой кран и посмотри, где окажется общий уровень. Почему он ближе к уровню в широком цилиндре?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Переведи давления в высоты столбов, найди общий объём воды и раздели на общую площадь.

Подсказка 1

В вакууме давление у дна $P = \rho g h$ где $h$ — высота столба. Значит, давление пропорционально высоте, и с давлениями можно работать как с высотами.

Подсказка 2

Объём воды в цилиндрах сохраняется: $S_А h_А + S_В h_В = (S_А + S_В)h$ . Умножь обе части на $\rho g$ — получится то же равенство для давлений.

Разобрать решение по шагам

Давление — это высота столба

В камере вакуум, воздух сверху не давит. Поэтому давление у дна создаёт только столб воды:

P=\rho g h.

Значит, сначала высоты столбов $h_А = \dfrac{P_А}{\rho g}$ и $h_В = \dfrac{P_В}{\rho g}$ (при $\rho = 1000$ кг/м $^3$ $g = 10$ м/с $^2$ — это $40$ см и $10$ см).

После открытия крана

Вода перетекает, пока давления у дна не сравняются, то есть пока уровни не станут одинаковыми, $h$ Объём воды в цилиндрах не меняется:

S_А h_А+S_В h_В=(S_А+S_В)\,h.

Переходим к давлениям

Умножим равенство на $\rho g$

S_А P_А+S_В P_В=(S_А+S_В)\,P\quad\Rightarrow\quad P=\frac{S_А P_А+S_В P_В}{S_А+S_В}=\frac{4\cdot 4+8\cdot 1}{12}=2\ \text{кПа}.

Это среднее давлений с весами — площадями цилиндров. Ответ ближе к давлению в широком цилиндре.

Проверка

Высоты: $40$ см и $10$ см. Общий объём $4\cdot 40 + 8\cdot 10 = 240$ см $^3$ общая площадь $12$ см $^2$ уровень $20$ см. Давление $\rho g h = 1000\cdot 10\cdot 0{,}2 = 2000$ Па $= 2$ кПа. Слева уровень упал на $20$ см ( $80$ см $^3$ ), справа поднялся на $10$ см ( $80$ см $^3$ ) — объём сохранён.

Ответ

$P=\dfrac{S_А P_А+S_В P_В}{S_А+S_В}=2$ кПа.

Ответ

$P=\dfrac{S_А P_А+S_В P_В}{S_А+S_В}=2$ кПа.

Главная идея

В сообщающихся сосудах уровни выравниваются, а объём жидкости сохраняется. Без атмосферы давление у дна пропорционально высоте, поэтому итоговое давление — среднее с весами-площадями.

Сосуды соединяют — сначала запиши сохранение объёма, потом переведи высоты в давления (или наоборот).

Где легко ошибиться

Взять простое среднее $\dfrac{P_А+P_В}{2} = 2{,}5$ кПа. Так было бы только при одинаковых площадях; в широком цилиндре уровень меняется меньше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 4840 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4841, 4842, 4843) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: p_A·S_A/g + p_B·S_B/g = p(S_A + S_B)/g; p = (p_A·S_A + P_B·S_B)/(S_A + S_B)).

Продолжить тему: Жидкости и плавание →

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Гидростатическое давление P = ρgh
Сообщающиеся сосуды
Объём цилиндра

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →