Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Мяч бросают дважды из одной и той же точки с одинаковой начальной скоростью. В первом случае мяч движется по вертикали вверх и через некоторое время $T$ оказывается на расстоянии $H = 6$ м от точки старта. Во втором случае мяч движется по параболе и через то же самое время $T$ находится на расстоянии $L = 19$ м от точки старта на одном горизонтальном уровне с точкой старта. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

Найдите $T$ Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Что можно сказать о второй скорости броска, если через время $T$ мяч снова на уровне старта? Разложи её на горизонтальную и вертикальную части. Потом используй, что модуль скорости в обоих бросках один и тот же. В модели можно подбирать $T$ и смотреть, на какой высоте окажется вертикальный мяч.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать время

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать время

Подбери T так, чтобы вертикальный мяч через это время оказался ровно на высоте H. Что видно из падающей системы?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми T = 2 с и T = 3 с: для каждого найди v из второго броска и высоту vT − 5T² первого мяча; сравни с 6 м.

Подсказка 1

Второй мяч вернулся на уровень старта через $T$ вертикальная часть скорости $v_y=\dfrac{gT}{2}$ а горизонтальная $v_x=\dfrac{L}{T}$ Значит, $v^2=\dfrac{L^2}{T^2}+\dfrac{g^2T^2}{4}$ .

Подсказка 2

Первый мяч: $H=vT-\dfrac{gT^2}{2}$ (он выше старта, ведь $v>v_y=\dfrac{gT}{2}$ ). Отсюда $v=\dfrac{H}{T}+\dfrac{gT}{2}$ . Возведи в квадрат и приравняй к $v^2$ из первой подсказки — слагаемое $\dfrac{g^2T^2}{4}$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Второй бросок: составляющие скорости

Пусть $v$ — модуль начальной скорости (одинаковый в обоих бросках). По горизонтали мяч летит равномерно: $v_xT=L$ $v_x=\dfrac{L}{T}$ По вертикали через время $T$ он снова на уровне старта:

v_yT-\frac{gT^2}{2}=0\quad\Rightarrow\quad v_y=\frac{gT}{2}.

Поэтому

v^2=v_x^2+v_y^2=\frac{L^2}{T^2}+\frac{g^2T^2}{4}.

Первый бросок: где мяч через время T

Мяч, брошенный вверх, через время $T$ находится на высоте $vT-\dfrac{gT^2}{2}=T\left(v-\dfrac{gT}{2}\right)$ . Скорость $v$ больше своей вертикальной части второго броска $\dfrac{gT}{2}$ поэтому эта высота положительна: мяч выше точки старта, и расстояние $H$ — это высота:

H=vT-\frac{gT^2}{2}\quad\Rightarrow\quad v=\frac{H}{T}+\frac{gT}{2}.

Приравниваем скорости

\left(\frac{H}{T}+\frac{gT}{2}\right)^2=\frac{L^2}{T^2}+\frac{g^2T^2}{4}.

Раскроем скобки слева: $\dfrac{H^2}{T^2}+gH+\dfrac{g^2T^2}{4}$ . Последнее слагаемое сокращается с правой частью:

\frac{H^2}{T^2}+gH=\frac{L^2}{T^2}\quad\Rightarrow\quad T^2=\frac{L^2-H^2}{gH}.

Числа

T=\sqrt{\frac{19^2-6^2}{10\cdot 6}}=\sqrt{\frac{325}{60}}\approx\sqrt{5{,}417}\approx 2{,}33\ \text{с}.

С округлением до десятых: $2{,}3$ с.

Проверка

Скорость броска $v=\dfrac{6}{2{,}327}+5\cdot 2{,}327\approx 2{,}58+11{,}64=14{,}22$ м/с. Проверим второй бросок: $v_x=\dfrac{19}{2{,}327}\approx 8{,}16$ м/с, $v_y\approx 11{,}64$ м/с, $\sqrt{8{,}16^2+11{,}64^2}\approx 14{,}22$ м/с — совпадает. Красивая проверка — в системе, свободно падающей вместе с мячами: там оба мяча летят прямолинейно с одной и той же скоростью $v$ и через $T$ находятся на окружности радиуса $vT$ с центром в точке, опустившейся на $\dfrac{gT^2}{2}$ Отсюда сразу $\left(H+\dfrac{gT^2}{2}\right)^2=L^2+\left(\dfrac{gT^2}{2}\right)^2$ — то же уравнение.

Ответ

$T=\sqrt{\dfrac{L^2-H^2}{gH}}\approx 2{,}3$ с.

Ответ

$T=\sqrt{\dfrac{L^2-H^2}{gH}}\approx 2{,}3$ с.

Главная идея

Условие «через $T$ снова на уровне старта» задаёт вертикальную часть скорости $gT/2$ Одинаковый модуль скорости связывает два броска; квадрат $g^2T^2/4$ сокращается.

Два броска с одинаковой скоростью и одинаковым временем — записывай модуль скорости из каждого броска и приравнивай. Удобна и падающая система отсчёта: в ней тела летят прямо.

Где легко ошибиться

Считать, что в момент $T$ вертикальный мяч находится в высшей точке ( $H=v^2/2g$ ), или что второй мяч упал на землю в точке старта по высоте и при этом $L$ — дальность при угле $45^\circ$ Ни того, ни другого в условии нет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 9, версия с ID 4607 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4608, 4609, 4610) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 17) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 3 ↗: H = V0T − gT²/2, L² = (V0T)² − (gT²/2)² ⇒ T = √((L² − H²)/(gH))).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Движение тела, брошенного под углом к горизонту
Равноускоренное движение по вертикали
Теорема Пифагора для скорости

Приёмы решения: Координаты и проекции · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →