Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Из проволоки c сопротивлением $R = 180$ Ом изготовили два одинаковых равносторонних треугольника и спаяли их так, как показано в схеме на рисунке к задаче. К узлам A и B электрической цепи подключили источник постоянного напряжения $U = 50$ В (см. рис.).

Какая мощность $P$ рассеивается в этой цепи? Ответ приведите в [Вт] с округлением до целого числа. Сопротивление подводящих проводов и соединительных контактов пренебрежимо мало.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Точки пайки делят каждую сторону треугольника на три равных кусочка. Сколько всего кусочков и какое у каждого сопротивление, если $R$ — сопротивление всей проволоки (так мы понимаем условие)? Затем посмотри, какие кусочки соединяют одни и те же два узла. В модели видно, как ток делится по звезде.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТок в звезде

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ток в звезде

Как ток делится между лучом звезды и стороной шестиугольника? Что изменится, если подключить источник к другим узлам?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй шестиугольник и около каждой стороны луч из двух кусочков; замени каждую пару «сторона + луч» одним звеном 2r/3.

Подсказка 1

Всего $2\cdot 3\cdot 3=18$ одинаковых кусочков, каждый $r=R/18=10$ Ом. Внутренние кусочки образуют шестиугольник. Каждый луч звезды — два кусочка, $2r$ — соединяет те же два соседних узла, что и сторона шестиугольника рядом с ним.

Подсказка 2

Сторона шестиугольника $r$ и луч $2r$ параллельны: вместе $\dfrac{r\cdot 2r}{r+2r}=\dfrac{2r}{3}$ . Получилось кольцо из шести одинаковых звеньев $\dfrac{2r}{3}$ Между соседними узлами A и B — одно звено параллельно пяти остальным.

Разобрать решение по шагам

Из чего состоит цепь

Треугольники пересекаются в шести точках, и каждая сторона делится ими на три равные части. Вся проволока — это $2\cdot 3=6$ сторон по $3$ кусочка, то есть $18$ одинаковых кусочков. Сопротивление пропорционально длине, поэтому у каждого кусочка

r=\frac{R}{18}=\frac{180}{18}=10\ \text{Ом}.

(Мы понимаем $R$ как сопротивление всей проволоки — см. допущение выше.)

Лучи звезды параллельны сторонам шестиугольника

Средние кусочки сторон образуют правильный шестиугольник, его вершины — шесть узлов пайки. Каждый луч звезды состоит из двух кусочков, $2r$ и соединяет два соседних узла шестиугольника — те же, что и сторона шестиугольника рядом с ним. Значит, луч и сторона соединены параллельно:

r\parallel 2r=\frac{r\cdot 2r}{r+2r}=\frac{2r}{3}.

Цепь превратилась в кольцо из шести одинаковых звеньев $\dfrac{2r}{3}$

Луч звезды (

2r

) и соседняя сторона шестиугольника (

r

) соединяют одни и те же узлы — вместе они дают звено

2r/3

Сопротивление между соседними узлами

Узлы A и B — соседние вершины шестиугольника. Между ними одно звено $\dfrac{2r}{3}$ а параллельно ему — остальные пять звеньев последовательно, $5\cdot\dfrac{2r}{3}$

R_{AB}=\frac{\dfrac{2r}{3}\cdot\dfrac{10r}{3}}{\dfrac{2r}{3}+\dfrac{10r}{3}}=\frac{5}{6}\cdot\frac{2r}{3}=\frac{5r}{9}=\frac{50}{9}\ \text{Ом}\approx 5{,}56\ \text{Ом}.

Мощность

P=\frac{U^2}{R_{AB}}=\frac{50^2}{50/9}=\frac{2500\cdot 9}{50}=450\ \text{Вт}.

Проверка

Проверим законом Кирхгофа (так считает и модель): ток от источника $I=\dfrac{U}{R_{AB}}=\dfrac{50\cdot 9}{50}=9$ А, мощность $UI=50\cdot 9=450$ Вт. По звену A–B идёт $\dfrac{5}{6}$ тока, $7{,}5$ А; из них по стороне шестиугольника $5$ А, а по лучу $2{,}5$ А — вдвое меньше, потому что сопротивление луча вдвое больше. Ответ $450$ Вт совпадает с решением организатора.

Ответ

$P=\dfrac{U^2}{R_{AB}}=\dfrac{9U^2}{5r}=450$ Вт, где $r = R/18$ — сопротивление одного кусочка проволоки.

Ответ

$P=\dfrac{U^2}{R_{AB}}=\dfrac{9U^2}{5r}=450$ Вт, где $r = R/18$ — сопротивление одного кусочка проволоки.

Главная идея

Ищи участки, которые соединяют одни и те же два узла: они параллельны, даже если на рисунке далеко друг от друга по форме. После этого звезда превращается в простое кольцо.

Фигура из проволоки с узлами пайки — сначала посчитай одинаковые кусочки и их сопротивление, затем найди параллельные пары.

Где легко ошибиться

Взять сопротивление каждого кусочка $R/9$ (как если бы $R$ было у одного треугольника) без оговорки или забыть про лучи звезды и считать только шестиугольник: тогда $R_{AB}=\dfrac{5r}{6}$ и $P=300$ Вт.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 8, версия с ID 4603 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4604, 4605, 4606) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: P = 450 Вт (ID 4603); 324; 720; 144 Вт для остальных версий). Организатор, как и мы, понимает R как сопротивление всей проволоки. Второе прочтение на странице помечено как изменение условия.

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Начальный вход

Сопротивление пропорционально длине проводника
Параллельное и последовательное соединение
Мощность P = U²/R

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →