Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Две материальные точки движутся по одной прямой навстречу друг другу. В момент времени $t = 0$ скорости материальных точек $V_1 = 18$ м/с и $V_2 = 14$ м/с. В процессе сближения ускорения материальных точек $a_1 = 3$ м/с $^2$ и $a_2 = 0{,}2$ м/с $^2$ постоянны и направлены противоположно соответствующим начальным скоростям. В начальный момент расстояние между точками таково, что в момент максимального сближения расстояние между точками равно нулю.

Найдите отношение путей, пройденных первой и второй материальными точками к моменту встречи. Ответ приведите с округлением до сотых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Сначала найди, когда точки сильнее всего сблизятся: что в этот момент происходит со скоростью их сближения? Потом проверь, не остановится ли какая-нибудь точка раньше встречи. В модели можно запустить обе точки и смотреть на счётчики путей.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДве точки и их графики

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Две точки и их графики

Запусти движение. Какая точка останавливается раньше встречи? Как меняется её путь после разворота?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй график скорости первой точки: прямая от 18 м/с до −12 м/с за 10 с. Путь — сумма площадей двух треугольников над и под осью.

Подсказка 1

Расстояние между точками перестаёт уменьшаться, когда скорость сближения становится равной нулю. Скорость сближения в начале равна $V_1+V_2$ и каждую секунду уменьшается на $a_1+a_2$ Отсюда время встречи.

Подсказка 2

Первая точка тормозит быстро: она останавливается через $V_1/a_1 = 6$ с — раньше встречи — и дальше едет назад с тем же ускорением. Путь — это не смещение: сложи путь до остановки и путь после разворота.

Разобрать решение по шагам

Когда точки сильнее всего сблизятся

Будем считать положительным направление движения первой точки. Скорость, с которой уменьшается расстояние между точками (скорость сближения), в начале равна $V_1+V_2=32$ м/с. Обе точки тормозятся, поэтому скорость сближения каждую секунду уменьшается на $a_1+a_2=3{,}2$ м/с. Пока она положительна, расстояние уменьшается; когда она станет отрицательной — начнёт расти. Наибольшее сближение — в момент, когда скорость сближения равна нулю:

t_{\text{в}}=\frac{V_1+V_2}{a_1+a_2}=\frac{32}{3{,}2}=10\ \text{с}.

По условию именно в этот момент расстояние равно нулю — точки встречаются.

Первая точка успевает развернуться

Первая точка останавливается через $\dfrac{V_1}{a_1}=\dfrac{18}{3}=6$ с, то есть раньше встречи. До остановки она проходит

\frac{V_1^2}{2a_1}=\frac{18^2}{2\cdot 3}=54\ \text{м}.

Ускорение постоянно, поэтому оставшиеся $4$ с она разгоняется в обратную сторону из покоя и проходит ещё $\dfrac{a_1\cdot 4^2}{2}=\dfrac{3\cdot 16}{2}=24$ м. Её путь к моменту встречи: $s_1=54+24=78$ м. (Смещение при этом всего $54-24=30$ м — путь и смещение здесь разные.)

Путь второй точки

Вторая точка останавливалась бы через $\dfrac{V_2}{a_2}=\dfrac{14}{0{,}2}=70$ с — гораздо позже встречи. Все $10$ с она движется в одну сторону, и путь равен смещению:

s_2=V_2t_{\text{в}}-\frac{a_2t_{\text{в}}^2}{2}=14\cdot 10-\frac{0{,}2\cdot 100}{2}=140-10=130\ \text{м}.

Отношение путей

\frac{s_1}{s_2}=\frac{78}{130}=0{,}6.

С округлением до сотых: $0{,}60$

Проверка

Проверим, что точки действительно встречаются через $10$ с. Начальное расстояние должно равняться сумме смещений: $30+130=160$ м. С другой стороны, при равномерно убывающей скорости сближения расстояние, пройденное «навстречу», равно $\dfrac{(V_1+V_2)^2}{2(a_1+a_2)}=\dfrac{32^2}{6{,}4}=160$ м. Совпадает. Если бы мы взяли смещение вместо пути, получилось бы $30/130\approx 0{,}23$ — это и есть главная ловушка задачи.

Ответ

$\dfrac{s_1}{s_2}=\dfrac{78}{130}=0{,}60$ .

Ответ

$\dfrac{s_1}{s_2}=\dfrac{78}{130}=0{,}60$ .

Главная идея

Наибольшее сближение наступает, когда скорость сближения обращается в ноль. Дальше важно проверить, не развернулась ли точка раньше: путь — сумма пути до остановки и пути после разворота.

Если тело тормозится с постоянным ускорением и спрашивают путь, первым делом найди момент остановки и сравни его с интересующим моментом.

Где легко ошибиться

Посчитать путь первой точки по формуле $V_1t-\dfrac{a_1t^2}{2}$ для всех $10$ с. Получится смещение $30$ м, а не путь $78$ м, и ответ $0{,}23$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 4579 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4580, 4581, 4582) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: U_отн = V⃗2 − V⃗1, a_отн = a⃗2 − a⃗1; L = (V1 + V2)²/(2(a1 + a2)); T = (V1 + V2)/(a1 + a2); t1 = V1/a1 < T; S1 = V1t1/2 + a1(T − t1)²/2; S2 = V2T − a2T²/2; «Деление S1/S2 Читатель проведет лично»). Формулы для S1 и S2 совпадают с нашими; официальный текст не доводит ответ до единой формулы или числа («Деление S1/S2 Читатель проведет лично») — деление выполнено нами: 78/130 = 0,60. Условие t1 < T в тексте записано, а то, что вторая точка не останавливается до встречи (V2/a2 > T), сказано только словами «движется в одном направлении»; для всех четырёх версий оба условия выполнены.

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Равноускоренное движение: скорость и перемещение
Скорость сближения двух тел
Различие пути и перемещения

Приёмы решения: Относительное движение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →