Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный стержень массой $M = 1{,}2$ кг опирается на гладкую вертикальную стену на высоте $H = 0{,}6$ м, отсчитанной от гладкого горизонтального пола (см. рис.). Нижний конец стержня привязан к стене нитью длины $L = 0{,}3$ м. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$

Найдите силу $T$ натяжения нити. Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Стена и пол гладкие — какие силы действуют на стержень и куда они направлены? Расстояние от нижнего конца до стены не дано: попробуй обозначить его буквой и посмотреть, сократится ли оно. В модели этот конец можно двигать и смотреть, какие силы меняются.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодвинуть нижний конец

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подвинуть нижний конец

Двигай нижний конец стержня. Какие силы меняются? Меняется ли натяжение нити?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми d = 0,18 м и d = 0,1 м и для каждого посчитай N = Mg·d/(2H), а затем T = N·L/d.

Подсказка 1

Сил четыре: $Mg$ вниз в середине стержня, реакция стены $N$ — горизонтально (стена гладкая), реакция пола — вертикально вверх (пол гладкий), натяжение нити $T$ — вдоль нити к стене. Удобно записать правило моментов относительно нижнего конца: там приложены и сила пола, и нить.

Подсказка 2

Пусть нижний конец стоит на расстоянии $d$ от стены. Относительно него $N\cdot H=Mg\cdot\dfrac{d}{2}$ . Горизонтально: $N$ уравновешивается горизонтальной частью натяжения $T\cdot\dfrac{d}{L}$ (нить длины $L$ отходит от стены на $d$ ). Подставь — $d$ сократится.

Разобрать решение по шагам

Силы, действующие на стержень

Обозначим $d$ — расстояние от нижнего конца стержня до стены (в условии оно не дано). На стержень действуют:

сила тяжести $Mg$ — вниз, в середине стержня;
реакция стены $N$ — горизонтально, от стены: стена гладкая, трения нет;
реакция пола $F$ — вертикально вверх: пол тоже гладкий;
натяжение нити $T$ — вдоль нити, от нижнего конца к стене.

Нить длины $L$ отходит от стены на $d$ поэтому горизонтальная часть натяжения равна $T\cdot\dfrac{d}{L}$

Правило моментов относительно нижнего конца

Относительно нижнего конца силы $F$ и $T$ приложены прямо в этой точке и вращения не создают. Остаются две силы:

$N$ — горизонтальна, приложена на высоте $H$ плечо $H$
$Mg$ — вертикальна, приложена в середине: плечо равно половине горизонтального расстояния до стены, $\dfrac{d}{2}$

N\cdot H=Mg\cdot\frac{d}{2}\quad\Rightarrow\quad N=\frac{Mg\,d}{2H}.

Силы на стержень и их плечи относительно нижнего конца: у

N

плечо

H

Mg

—

d/2

Равновесие по горизонтали

По горизонтали на стержень действуют только $N$ (от стены) и горизонтальная часть натяжения (к стене):

T\cdot\frac{d}{L}=N=\frac{Mg\,d}{2H}.

Неизвестное $d$ сокращается:

T=\frac{MgL}{2H}=\frac{1{,}2\cdot 10\cdot 0{,}3}{2\cdot 0{,}6}=3\ \text{Н}.

Проверка

Проверим на конкретной картинке. Пусть $d=0{,}18$ м, тогда нить крепится к стене на высоте $y=\sqrt{0{,}3^2-0{,}18^2}=0{,}24$ м. Реакция стены $N=\dfrac{12\cdot 0{,}18}{1{,}2}=1{,}8$ Н, натяжение $T=N\cdot\dfrac{L}{d}=1{,}8\cdot\dfrac{0{,}3}{0{,}18}=3$ Н, его вертикальная часть $3\cdot\dfrac{0{,}24}{0{,}3}=2{,}4$ Н тянет нижний конец вверх, и пол давит с силой $12-2{,}4=9{,}6$ Н $>0$ — стержень действительно стоит на полу. При другом $d$ числа $N$ и $F$ меняются, а $T$ — нет. Реакция пола $F=Mg-T\dfrac yL=Mg\Big(1-\dfrac{y}{2H}\Big)$ остаётся положительной, пока $y\le2H$ при $L\le2H$ (все версии) это выполнено для любого $d<L$ а для своих значений с $L>2H$ модель требует $d\ge\sqrt{L^2-4H^2}$ — иначе нить оторвала бы нижний конец от пола. Размерность $\dfrac{MgL}{H}$ — ньютоны.

Ответ

$T=\dfrac{MgL}{2H}=3$ Н.

Ответ

$T=\dfrac{MgL}{2H}=3$ Н.

Главная идея

Неизвестную величину (расстояние до стены) вводят буквой: она сокращается. Правило моментов удобно писать относительно точки, где приложено больше всего неизвестных сил.

Если в задаче о равновесии «не хватает» данных о геометрии, обозначь недостающий размер буквой — ответ часто от него не зависит.

Где легко ошибиться

Считать, что нить горизонтальна, или что реакция гладкой стены направлена вдоль стержня. Ещё одна ошибка — взять плечо силы тяжести равным половине длины стержня, а не половине горизонтального расстояния $d/2$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 4587 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4588, 4589, 4590) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: N₁ = T cos α, N₁H = Mg·(L/2)cos α ⇒ T = MgL/(2H); для ID 4587 это 3 Н). Совпадает: официальные указания обозначают через L длину нити и α — её угол к горизонтали; наше d/L = cos α.

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Начальный вход

Правило моментов
Равновесие сил по осям
Направление реакции гладкой поверхности

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →