Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Катер движется в положительном направлении оси $OX$ В момент времени $t = 0$ координата катера $x_1$ $(x_1 > 0)$ Начиная с этого момента скорость катера уменьшается по закону $V = \dfrac{A}{x}$ здесь $A > 0$ – постоянная величина, $x$ – текущая координата катера. В момент времени $T = 9$ с координата катера равна $nx_1$ здесь $n = 2$

Найдите показание часов в тот момент, когда координата катера будет равна $mx_1$ здесь $m = 4$ Ответ приведите в [с] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Скорость зависит от координаты, а не от времени. Сколько времени катер тратит на маленький отрезок пути $\Delta x$ возле точки $x$ Попробуй сложить такие кусочки — помогает график величины $1/V$ от $x$ В модели можно запустить катер и поменять неизвестное $x_1$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКатер и площадь под графиком

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Катер и площадь под графиком

Когда катер дойдёт до m·x₁? Зависит ли это от начальной координаты x₁?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй прямую 1/V = x/A и закрась под ней трапеции от x₁ до 2x₁ и от x₁ до 4x₁; сравни их площади (3 : 15).

Подсказка 1

Маленький отрезок $\Delta x$ катер проходит за время $\Delta t=\dfrac{\Delta x}{V}=\dfrac{x}{A}\,\Delta x$ . Нарисуй график $\dfrac{1}{V}=\dfrac{x}{A}$ — это прямая через начало координат. Время в пути — площадь под этим графиком.

Подсказка 2

Площадь под прямой $\dfrac{x}{A}$ от $x_1$ до $x$ — трапеция: $\dfrac{x^2-x_1^2}{2A}$ Значит, $x^2-x_1^2=2At$ Запиши это для момента $T$ (точка $nx_1$ ) и для искомого момента (точка $mx_1$ ) и раздели одно на другое.

Разобрать решение по шагам

Время на маленьком отрезке

Скорость меняется вместе с координатой, поэтому разобьём путь на маленькие отрезки $\Delta x$ На каждом скорость почти постоянна, и время на нём

\Delta t=\frac{\Delta x}{V}=\frac{x}{A}\,\Delta x.

Это площадь узкой полоски под графиком величины $\dfrac{1}{V}=\dfrac{x}{A}$ (по горизонтали — $x$ ). Всё время в пути — сумма полосок, то есть площадь под графиком.

Площадь под прямой

График $\dfrac{x}{A}$ — прямая через начало координат. Площадь под ней от $x_1$ до $x$ — трапеция с основаниями $\dfrac{x_1}{A}$ и $\dfrac{x}{A}$ и высотой $x-x_1$

t=\frac{1}{2}\left(\frac{x_1}{A}+\frac{x}{A}\right)(x-x_1)=\frac{x^2-x_1^2}{2A}.

Итак, $x^2-x_1^2=2At$ квадрат координаты растёт равномерно со временем.

Время в пути — площадь под прямой

1/V=x/A

от

x_1

до

2x_1

— площадь

3

клеток-треугольников, от

x_1

до

4x_1

—

15

Сравниваем два момента

В момент $T$ катер в точке $nx_1$ $(n^2-1)x_1^2=2AT$ В искомый момент $t$ — в точке $mx_1$ $(m^2-1)x_1^2=2At$ Делим второе на первое — неизвестные $A$ и $x_1$ сокращаются:

\frac{t}{T}=\frac{m^2-1}{n^2-1}\quad\Rightarrow\quad t=T\,\frac{m^2-1}{n^2-1}=9\cdot\frac{16-1}{4-1}=9\cdot 5=45\ \text{с}.

Проверка

Проверим на числах: пусть $x_1=10$ м. Из условия для момента $T$ $A=\dfrac{(4-1)\cdot 100}{2\cdot 9}=\dfrac{50}{3}$ м $^2$ /с. Тогда время до $x=40$ м: $\dfrac{1600-100}{2\cdot 50/3}=\dfrac{1500\cdot 3}{100}=45$ с. С другим $x_1$ получится то же самое — модель это показывает. Ответ больше, чем $2T=18$ с: катер замедляется, поэтому каждый следующий участок той же длины занимает больше времени.

Ответ

$t=T\dfrac{m^2-1}{n^2-1}=45$ с.

Ответ

$t=T\dfrac{m^2-1}{n^2-1}=45$ с.

Главная идея

Когда скорость задана как функция координаты, время считают как площадь под графиком $1/V$ от $x$ Для $V=A/x$ это трапеция, и $x^2$ растёт равномерно со временем.

Скорость зависит от координаты, а спрашивают время — строй график 1/V(x) и ищи площадь под ним.

Где легко ошибиться

Считать движение равномерным или равнозамедленным и получить $t=T\cdot\dfrac{m-1}{n-1}=27$ с. Скорость здесь меняется не равномерно ни по времени, ни по пути.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 10, версия с ID 4611 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4612, 4613, 4614) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 18) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 3 ↗: Δx/Δt = A/x ⇒ Δt = (1/A)·x·Δx ⇒ t = (x² − x1²)/(2A); T = x1²(n² − 1)/(2A), τ = x1²(m² − 1)/(2A) ⇒ τ = T·(m² − 1)/(n² − 1)).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Скорость как путь за малое время
Площадь трапеции
Чтение графиков

Приёмы решения: Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →