Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Моторная лодка движется прямолинейно по реке параллельно берегу. Расстояние $S = 3780$ м лодка проходит за время $t_1 = 1800$ с. После этого моторная лодка движется по прямой, перпендикулярной берегу, и проходит расстояние $H = 900$ м за $t_2 = 300$ с.

В системе отсчета, движущейся со скоростью течения реки, моторная лодка движется с одинаковой по модулю скоростью в любом направлении. Найдите скорость течения реки. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Найди обе скорости лодки относительно берега. Скорость лодки в воде обозначь $u$ скорость течения — $w$ Как связаны $u$ $w$ и скорость относительно берега при переправе строго поперёк реки? А вдоль берега — по течению или против? В модели можно подбирать $w$ и смотреть, когда два участка требуют одну и ту же $u$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать скорость течения

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать скорость течения

Подбери скорость течения так, чтобы переправе и участку вдоль берега была нужна одна и та же скорость лодки в воде. Получится ли это, если лодка шла по течению?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Нарисуй прямоугольный треугольник с катетом 3 м/с поперёк реки и катетом w вдоль; гипотенуза — скорость лодки u. Сравни её с 2,1 м/с.

Подсказка 1

Относительно берега: вдоль — $v_\parallel=S/t_1=2{,}1$ м/с, поперёк — $v_\perp=H/t_2=3$ м/с. Чтобы плыть строго поперёк, лодка держит нос немного против течения: скорость в воде $u$ — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами $v_\perp$ и $w$

Подсказка 2

Из переправы $u>v_\perp=3$ м/с. Если бы лодка вдоль берега шла по течению, её скорость была бы $u+w>3$ м/с, а она всего $2{,}1$ м/с. Значит, вдоль берега лодка шла против течения: $u-w=2{,}1$ Вместе с $u^2-w^2=9$ это даёт $u+w$

Разобрать решение по шагам

Скорости относительно берега

v_\parallel=\frac{S}{t_1}=\frac{3780}{1800}=2{,}1\ \text{м/с},\qquad v_\perp=\frac{H}{t_2}=\frac{900}{300}=3\ \text{м/с}.

Обозначим $u$ — скорость лодки относительно воды (по условию она одна и та же в любом направлении), $w$ — скорость течения. Скорость относительно берега равна векторной сумме: скорость в воде плюс скорость течения.

Переправа строго поперёк реки

Чтобы двигаться перпендикулярно берегу, лодка направляет нос чуть против течения так, чтобы снос течением компенсировался. Векторы $\vec u$ $\vec w$ и $\vec v_\perp$ образуют прямоугольный треугольник, где $\vec u$ — гипотенуза:

u^2=v_\perp^2+w^2,\qquad\text{то есть}\qquad u^2-w^2=9.

Отсюда же видно: $u>v_\perp=3$ м/с.

Переправа: скорость лодки в воде

u

— гипотенуза, скорость течения

w

и скорость относительно берега

v_\perp

— катеты.

Вдоль берега — по течению или против?

Если лодка шла по течению, её скорость относительно берега была бы $u+w>3$ м/с. Но она равна $2{,}1$ м/с — так быть не может. Значит, лодка шла против течения:

u-w=v_\parallel=2{,}1\ \text{м/с}.

Решаем систему

Разложим разность квадратов: $u^2-w^2=(u-w)(u+w)$ Тогда

u+w=\frac{u^2-w^2}{u-w}=\frac{9}{2{,}1}=\frac{30}{7}\approx 4{,}286\ \text{м/с}.

Вычитаем из суммы разность и делим пополам:

w=\frac{1}{2}\left(\frac{30}{7}-2{,}1\right)=\frac{1}{2}\cdot\frac{300-147}{70}=\frac{153}{140}\approx 1{,}09\ \text{м/с}.

С округлением до десятых: $1{,}1$ м/с.

Проверка

Проверим: $u=w+2{,}1=\dfrac{153}{140}+\dfrac{294}{140}=\dfrac{447}{140}\approx 3{,}193$ м/с. Тогда $u^2-w^2\approx 10{,}194-1{,}194=9{,}000$ — совпадает с $v_\perp^2$ Скорость лодки в воде больше обеих скоростей относительно берега: при переправе часть её «тратится» на борьбу со сносом, при движении против течения — на само течение.

Ответ

$w=\dfrac{153}{140}\approx 1{,}1$ м/с.

Ответ

$w=\dfrac{153}{140}\approx 1{,}1$ м/с.

Главная идея

Скорость относительно берега — векторная сумма скорости в воде и скорости течения. При переправе поперёк получается прямоугольный треугольник, вдоль берега — сумма или разность. Направление движения вдоль берега выясняется из сравнения скоростей.

Если сказано, что в системе воды скорость одинакова во всех направлениях, пиши векторное сложение скоростей для каждого участка и проверяй, какой из случаев (по или против течения) возможен.

Где легко ошибиться

Считать, что вдоль берега лодка шла по течению: $u+w=2{,}1$ Тогда $u<2{,}1$ а переправе нужна $u>3$ — система не имеет решения, но это часто не замечают и получают отрицательную или бессмысленную $w$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 4583 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4584, 4585, 4586) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: S/t1 = V − U, H/t2 = √(V² − U²) ⇒ U = 0,5·[(H/t2)² / (S/t1) − S/t1]).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Начальный вход

Сложение скоростей (относительное движение)
Теорема Пифагора
Разность квадратов

Приёмы решения: Относительное движение · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →