Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

В воде плавают две сплошные фигурки. Каждая фигурка изготовлена из двух разных материалов, плотности которых равны $\rho_1 = 350$ кг/м $^3$ и $\rho_2 = 850$ кг/м $^3$ В первой фигурке массы частей одинаковы, во второй фигурке одинаковы объемы.

Какую долю $\alpha$ объема первой фигурки составляет объем ее надводной части? Какую долю $\beta$ объема второй фигурки составляет объем ее надводной части? Плотность воды $\rho = 1000$ кг/м $^3$ В ответе укажите число $(\alpha - \beta)$ с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Как плавающее тело «решает», какая его часть окажется под водой? Попробуй заменить каждую фигурку однородной с той же массой и тем же объёмом. В модели можно опустить обе фигурки в воду и сравнить.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОпустить фигурки в воду

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Опустить фигурки в воду

Опусти обе фигурки в воду. Какая выступает больше и почему?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми по 1 кг каждого материала, найди их объёмы и среднюю плотность; затем возьми по 1 л каждого и сделай то же самое.

Подсказка 1

Для плавающего тела вес равен силе Архимеда: $\rho_{\text{ср}}V g=\rho V_{\text{погр}}g$ . Значит, погружённая доля объёма равна $\rho_{\text{ср}}/\rho$ а надводная — $1-\rho_{\text{ср}}/\rho$ Осталось найти среднюю плотность каждой фигурки.

Подсказка 2

Средняя плотность — вся масса на весь объём. При равных объёмах $V$ частей: $\rho_{\text{ср}}=\dfrac{\rho_1V+\rho_2V}{2V}$ . При равных массах $m$ частей объёмы равны $m/\rho_1$ и $m/\rho_2$ $\rho_{\text{ср}}=\dfrac{2m}{m/\rho_1+m/\rho_2}$ .

Разобрать решение по шагам

Какая доля плавающего тела под водой

Плавающее тело в равновесии: сила тяжести $Mg$ равна силе Архимеда $\rho V_{\text{погр}} g$ Обозначим средней плотностью фигурки $\rho_{\text{ср}}=M/V$ — всю массу, делённую на весь объём. Тогда

\rho_{\text{ср}}V=\rho V_{\text{погр}}\quad\Rightarrow\quad\frac{V_{\text{погр}}}{V}=\frac{\rho_{\text{ср}}}{\rho},\qquad\text{надводная доля}=1-\frac{\rho_{\text{ср}}}{\rho}.

Как именно расположены части внутри фигурки, для этой доли неважно.

Первая фигурка: равные массы

Пусть масса каждой части $m$ Объёмы частей $\dfrac{m}{\rho_1}$ и $\dfrac{m}{\rho_2}$ — лёгкий материал занимает больше места. Средняя плотность

\rho_{\text{ср},1}=\frac{2m}{\dfrac{m}{\rho_1}+\dfrac{m}{\rho_2}}=\frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}=\frac{2\cdot 350\cdot 850}{1200}\approx 495{,}8\ \text{кг/м}^3.

Надводная доля $\alpha=1-\dfrac{495{,}8}{1000}\approx 0{,}504$ .

Вторая фигурка: равные объёмы

Пусть объём каждой части $V$ Средняя плотность — обычное среднее:

\rho_{\text{ср},2}=\frac{\rho_1V+\rho_2V}{2V}=\frac{\rho_1+\rho_2}{2}=\frac{350+850}{2}=600\ \text{кг/м}^3.

Надводная доля $\beta=1-0{,}6=0{,}4$

Разность

\alpha-\beta\approx 0{,}504-0{,}400=0{,}104.

С округлением до десятых: $0{,}1$ Первая фигурка выступает больше: в ней лёгкого материала по объёму больше половины, поэтому средняя плотность меньше.

Проверка

Проверим первую фигурку на числах: возьмём $m=1$ кг каждой части. Объёмы $\dfrac{1}{350}\approx 2{,}857\cdot10^{-3}$ м $^3$ и $\dfrac{1}{850}\approx 1{,}176\cdot10^{-3}$ м $^3$ вместе $4{,}034\cdot 10^{-3}$ м $^3$ Масса $2$ кг, средняя плотность $\dfrac{2}{4{,}034\cdot 10^{-3}}\approx 495{,}8$ кг/м $^3$ — совпадает. Обе средние плотности меньше $1000$ кг/м $^3$ обе фигурки действительно плавают. Среднее «по массам» (гармоническое) всегда не больше среднего «по объёмам» (арифметического), поэтому $\alpha\ge\beta$

Ответ

$\alpha-\beta\approx 0{,}504-0{,}400\approx 0{,}1$ .

Ответ

$\alpha-\beta\approx 0{,}504-0{,}400\approx 0{,}1$ .

Главная идея

Для плавания важна только средняя плотность тела. При равных объёмах частей она равна среднему арифметическому плотностей, при равных массах — меньше: $\dfrac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1+\rho_2}$ .

Тело из нескольких материалов в жидкости — сразу заменяй его однородным со средней плотностью «вся масса / весь объём».

Где легко ошибиться

Посчитать среднюю плотность первой фигурки тоже как $\dfrac{\rho_1+\rho_2}{2}$ — тогда $\alpha=\beta$ и ответ $0$ При равных массах лёгкого материала по объёму больше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 5, версия с ID 4591 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4592, 4593, 4594) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: (1 − α)(V1 + V2)ρg = 2mg, ρ1V1 = ρ2V2 ⇒ α = 1 − 2ρ1ρ2/(ρ(ρ1 + ρ2)); (1 − β)·2Vρg = (ρ1 + ρ2)Vg ⇒ β = 1 − (ρ1 + ρ2)/(2ρ); α − β = (ρ1 − ρ2)²/(2ρ(ρ1 + ρ2))).

Продолжить тему: Жидкости и плавание →

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Плотность
Условие плавания и сила Архимеда
Средняя плотность составного тела

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →