Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Курьер отправился в поездку на велосипеде. Первую треть времени он ехал со скоростью $V_1 = 22$ км/ч, затем четверть оставшегося пути со скоростью $V_2 = 18$ км/ч, остальное – со скоростью $V_3 = 12$ км/ч.

Найдите среднюю скорость велосипедиста на всем пути. Движение курьера в поездке безостановочное. Ответ приведите в [км/ч] с округлением до целого числа.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Здесь две разные «доли»: первая часть отмерена по времени, вторая и третья — по пути. Подумай, что известно о каждой части, если обозначить буквой всё время поездки. В модели можно проехать с курьером весь путь и прочитать, сколько километров он проехал и за сколько часов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПроехать с курьером

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Проехать с курьером

Запусти поездку, прочитай весь путь и всё время. Совпадает ли средняя скорость со средним арифметическим трёх скоростей? Зависит ли она от того, сколько длилась поездка?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми T = 3 ч, посчитай путь за первый час, затем время на четверти и трёх четвертях оставшегося пути — и раздели весь путь на 3 ч.

Подсказка 1

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее трёх скоростей. Обозначь всё время поездки $T$ и вырази через $T$ путь на каждой части. В конце $T$ сократится.

Подсказка 2

После первой трети времени остаётся $\dfrac{2T}{3}$ времени. Обозначь оставшийся путь $S$ его четверть пройдена со скоростью $V_2$ а три четверти — со скоростью $V_3$ Сумма этих двух времён равна $\dfrac{2T}{3}$ — из этого равенства найди $S$

Разобрать решение по шагам

Что такое средняя скорость

Средняя скорость на всём пути — это весь путь, делённый на всё время:

v_{\text{ср}}=\frac{\text{весь путь}}{\text{всё время}}.

Время поездки в условии не дано, поэтому обозначим его $T$ Мы выразим через $T$ весь путь, а потом разделим на $T$

Первая треть времени

Первая часть отмерена по времени: она длится $\dfrac{T}{3}$ Путь на ней

s_1=V_1\cdot\frac{T}{3}=22\cdot\frac{T}{3}.

Оставшийся путь: составляем уравнение по времени

Оставшееся время равно $T-\dfrac{T}{3}=\dfrac{2T}{3}$ . Оставшийся путь обозначим $S$ Его делят по пути: четверть $\dfrac{S}{4}$ со скоростью $V_2$ и три четверти $\dfrac{3S}{4}$ со скоростью $V_3$ Время на каждом куске — путь, делённый на скорость, и вместе они дают $\dfrac{2T}{3}$

\frac{S}{4V_2}+\frac{3S}{4V_3}=\frac{2T}{3}.

Подставим числа: $\dfrac{S}{72}+\dfrac{3S}{48}=\dfrac{S}{72}+\dfrac{S}{16}=\dfrac{2S+9S}{144}=\dfrac{11S}{144}$ . Значит,

\frac{11S}{144}=\frac{2T}{3},\qquad S=\frac{2T}{3}\cdot\frac{144}{11}.

Число $\dfrac{144}{11}\approx 13{,}09$ км/ч — это средняя скорость на оставшемся пути. Она ближе к $12$ чем к $18$ с меньшей скоростью курьер ехал дольше.

Первая часть отмерена по времени, остальные — по пути. Поэтому у оставшегося куска своя средняя скорость

\frac{144}{11}

км/ч.

Весь путь и средняя скорость

Весь путь равен $s_1+S=22\cdot\dfrac{T}{3}+\dfrac{144}{11}\cdot\dfrac{2T}{3}$ . Делим на всё время $T$ — буква $T$ сокращается:

v_{\text{ср}}=\frac{1}{3}\left(22+2\cdot\frac{144}{11}\right)=\frac{1}{3}\cdot\frac{242+288}{11}=\frac{530}{33}\approx 16{,}06\ \text{км/ч}.

С округлением до целого: $16$ км/ч.

Проверка

Возьмём для проверки $T=3$ ч. За первый час курьер проехал $22$ км. Оставшийся путь $S=2\cdot\dfrac{144}{11}=\dfrac{288}{11}\approx 26{,}18$ км: четверть $\approx 6{,}55$ км со скоростью $18$ км/ч занимает $\approx 0{,}364$ ч, три четверти $\approx 19{,}64$ км со скоростью $12$ км/ч — $\approx 1{,}636$ ч. Вместе $2$ ч — как и должно быть. Весь путь $\approx 48{,}18$ км за $3$ ч: $\approx 16{,}06$ км/ч. Ответ лежит между самой маленькой и самой большой скоростью, как и положено средней.

Ответ

$v_{\text{ср}}=\dfrac{530}{33}\approx 16$ км/ч.

Ответ

$v_{\text{ср}}=\dfrac{530}{33}\approx 16$ км/ч.

Главная идея

Средняя скорость — это весь путь на всё время. Неизвестное время поездки вводят буквой: оно сокращается. Если участки заданы долями пути, их времена складывают, и средняя скорость на них получается не средним арифметическим.

Если в задаче о средней скорости части движения отмерены то по времени, то по пути, введи общее время (или общий путь) буквой и составь уравнение по той величине, которой задана доля.

Где легко ошибиться

Сложить три скорости и разделить на три: $\dfrac{22+18+12}{3}\approx 17{,}3$ км/ч. Это неверно: с разными скоростями курьер ехал разное время. Вторая ошибка — считать, что «четверть оставшегося пути» занимает четверть оставшегося времени.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 1, версия с ID 4574 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4576, 4577, 4578) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 1 ↗: T = T/3 + (1/4)·(S − V1·T/3)/V2 + (3/4)·(S − V1·T/3)/V3; S/T = (3V1V2 + 8V2V3 + V1V3) / (3(3V2 + V3))).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Средняя скорость: весь путь, делённый на всё время
Путь = скорость × время
Сложение дробей

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →