Физтех 2025/26 · Физика · 9 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Металлический образец, длительное время находившийся в сосуде с кипящей при температуре $100\ ^\circ$ С водой, переносят в легкий цилиндрический стакан, наполненный водой при температуре $t_0 = 10\ ^\circ$ С. Уровень воды в стакане увеличивается на $\delta = 25\ \%$

Найдите установившуюся температуру в стакане. Ответ приведите в [ $^\circ$ С] с округлением до целого числа. Удельные теплоемкости: воды $c = 4200$ Дж/(кг $\cdot^\circ$ С), образца $c_1 = 380$ Дж/(кг $\cdot^\circ$ С), плотности: воды $\rho = 1000$ кг/м $^3$ образца $\rho_1 = 7500$ кг/м $^3$ В теплообмене участвуют только вода и образец. Объемы образца и воды считайте постоянными.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2025/26

Масс в условии нет. Что говорит о массе образца то, что уровень поднялся на четверть? Обозначь объём воды буквой и выпиши теплоту, которую отдаёт образец и получает вода. В модели можно подобрать температуру, при которой эти теплоты равны.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодобрать температуру

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подобрать температуру

Подбери температуру, при которой образец отдаёт столько же теплоты, сколько получает вода. Она ближе к 10 °C или к 100 °C?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Возьми 1 л воды: масса образца 0,25 л · 7,5 кг/л = 1,875 кг. Запиши 380 · 1,875 · (100 − t) = 4200 · 1 · (t − 10).

Подсказка 1

При полном погружении в цилиндрический стакан подъём уровня на $25\ \%$ значит, что объём образца равен четверти объёма воды: $V_1=0{,}25V$ Массы: воды $\rho V$ образца $\rho_1\cdot 0{,}25V$

Подсказка 2

Уравнение теплового баланса: $c_1\rho_1\cdot 0{,}25V\,(100-t)=c\rho V\,(t-t_0)$ . Объём $V$ сокращается — остаётся одно уравнение на $t$

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. Образец плотнее воды и тонет; подъём уровня в цилиндрическом стакане на $\delta$ задаёт объём той части образца, которая оказалась под водой.
Допускаем. Образец уходит под воду целиком и вода не выливается — тогда его объём равен $\delta V$ Из одной плотности это не следует: длинный образец может стоять на дне и выступать над водой.
Как это влияет на ответ. Если образец выступает, его объём, масса и отданная теплота больше, и вода нагреется сильнее. Поэтому наименьшая температура в этой модели — примерно $23{,}05\ ^\circ$ С; после округления получаем $23\ ^\circ$ С. Без допущения ответ однозначно не определяется.

Объём образца из подъёма уровня

По принятому допущению образец полностью погружён. Стакан цилиндрический: объём под уровнем пропорционален высоте. Уровень поднялся на $\delta=25\ \%$ — значит, объём образца равен четверти объёма воды:

V_1=\delta V=0{,}25V.

Массы

m=\rho V,\qquad m_1=\rho_1V_1=\rho_1\delta V.

Сравним, какое количество теплоты нужно, чтобы нагреть на $1\ ^\circ$ С воду и образец:

cm=4200\cdot 1000\cdot V=4{,}2\cdot 10^6\,V,\qquad c_1m_1=380\cdot 7500\cdot 0{,}25\,V=712\,500\,V\quad(\text{Дж}/^\circ\text{С}).

Теплоёмкость образца примерно в $6$ раз меньше, поэтому температура установится гораздо ближе к $10$ чем к $100\ ^\circ$ С.

Тепловой баланс

Образец, остывая от $100\ ^\circ$ С до $t$ отдаёт столько теплоты, сколько получает вода, нагреваясь от $t_0$ до $t$

c_1m_1(100-t)=cm(t-t_0).

Подставим теплоёмкости и сократим $V$

712\,500\,(100-t)=4\,200\,000\,(t-10),

t=\frac{712\,500\cdot 100+4\,200\,000\cdot 10}{712\,500+4\,200\,000}=\frac{113\,250\,000}{4\,912\,500}\approx 23{,}05\ ^\circ\text{С}.

С округлением до целого: $23\ ^\circ$ С.

Проверка

Проверим баланс при $t=23{,}05\ ^\circ$ С на литр воды ( $V=10^{-3}$ м $^3$ ): образец отдаёт $712{,}5\cdot 76{,}95\approx 54{,}8$ кДж, вода получает $4200\cdot 13{,}05\approx 54{,}8$ кДж. Температура лежит между $10$ и $100\ ^\circ$ С и ближе к $10$ — у воды теплоёмкость больше. Ответ не зависит от размера стакана, как и должно быть: в условии нет ни одного объёма.

Ответ

$t\approx 23\ ^\circ$ С.

Ответ

$t\approx 23\ ^\circ$ С.

Главная идея

Подъём уровня в цилиндрическом стакане даёт отношение объёмов, а через плотности — отношение масс. Дальше обычный тепловой баланс, в котором неизвестный объём воды сокращается.

Если в задаче о теплообмене нет масс, но есть объёмы «в процентах» и плотности — вводи объём буквой: он сократится.

Где легко ошибиться

Считать, что масса образца — $25\ \%$ массы воды. Двадцать пять процентов — это доля объёма; масса образца в $7{,}5$ раза больше, чем такой же объём воды.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2025/26 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 4595 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4596, 4597, 4598) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф9 1 попытка 2025», стр. 2 ↗: ρ·H·S·c·(t − t0) = ρ1·(δ/100%)·H·S·c1·(t100 − t) ⇒ t = (ρ·c·t0 + ρ1·(δ/100%)·c1·t100) / (ρ·c + ρ1·(δ/100%)·c1)).

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Количество теплоты: Q = cmΔt
Уравнение теплового баланса
Плотность и объём

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям

Задать вопрос по задаче →