Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Из-за длительного хранения изменились характеристики диэлектрика ( $\varepsilon = 2$ ), которым заполнен плоский конденсатор с круглыми обкладками: увеличилась электропроводность диэлектрика, диэлектрическая проницаемость возросла в $1{,}5$ раза. В результате постоянная времени разряда $\tau = 0{,}5$ c конденсатора через сопротивление (см. рис.) уменьшилась в $1{,}5$ раза.

Определите удельное сопротивление диэлектрика, которым заполнен конденсатор, после длительного хранения. Электропроводностью диэлектрика в исходном состоянии пренебрегите. Ответ приведите в [ГОм $\cdot$ м] с округлением до десятых. Электрическая постоянная $\epsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ [Ф/м]. Краевыми эффектами пренебрегите.

Указание: постоянная времени разряда конденсатора $\tau = RC$ где $C$ — ёмкость конденсатора, $R$ — полное сопротивление цепи, в которой исследуется процесс разрядки конденсатора.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

После хранения конденсатор разряжается двумя путями: через резистор и прямо через свой диэлектрик. Как эти пути соединены? И что получится, если перемножить сопротивление диэлектрика и ёмкость конденсатора?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбери утечку

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбери утечку

Подбери удельное сопротивление диэлектрика так, чтобы постоянная времени уменьшилась как в условии.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. 1/τ = 1/(RC) + 1/(R_д C); RC = kτ₀; R_д C = ρkεε₀.

Подсказка 1

Сопротивление диэлектрика $R_д = \dfrac{\rho d}{S}$ включено параллельно резистору $R$ Ёмкость после хранения $C = \dfrac{k\varepsilon\varepsilon_0S}{d}$ , где $k = 1{,}5$

Подсказка 2

$\dfrac1\tau = \dfrac1{RC} + \dfrac1{R_дC}$ , а $R_дC = \rho k\varepsilon\varepsilon_0$ — размеры конденсатора сокращаются. $RC = k\tau_0$ потому что $R$ тот же, а ёмкость выросла в $k$ раз.

Разобрать решение по шагам

Два пути разряда

Ток утечки идёт через диэлектрик от одной обкладки к другой — это сопротивление $R_д = \dfrac{\rho d}{S}$ подключённое к тем же обкладкам, что и резистор $R$ Значит, они соединены параллельно, и по указанию

\frac1\tau = \frac{1}{C}\left(\frac1R + \frac1{R_д}\right) = \frac1{RC} + \frac1{R_дC}.

Каждое слагаемое

До хранения $\tau_0 = RC_0 = 0{,}5$ с. После хранения ёмкость $C = kC_0$ ( $k = 1{,}5$ ), поэтому $RC = k\tau_0 = 0{,}75$ с.

Для утечки:

R_дC = \frac{\rho d}{S}\cdot\frac{k\varepsilon\varepsilon_0 S}{d} = \rho\,k\varepsilon\,\varepsilon_0

— площадь и расстояние между обкладками сокращаются. Новая проницаемость $k\varepsilon = 3$

Ответ

Новая постоянная времени $\tau = \dfrac{\tau_0}{n} = \dfrac{0{,}5}{1{,}5}$ с:

\frac1{\rho k\varepsilon\varepsilon_0} = \frac{n}{\tau_0} - \frac1{k\tau_0} = 3 - \frac43 = \frac53\ \text{с}^{-1},

\rho = \frac{0{,}6}{3\cdot8{,}85\cdot10^{-12}}\approx2{,}26\cdot10^{10}\ \text{Ом}\cdot\text{м}\approx22{,}6\ \text{ГОм}\cdot\text{м}.

Проверка

Проверка численным расчётом: выбирались конкретные обкладки (радиус $5$ см, зазор $1$ мм), из $\tau_0$ находились $C_0$ и $R$ к ним параллельно подключалось сопротивление диэлектрика с найденным $\rho$ и разряд интегрировался по шагам до падения напряжения в $e$ раз — время $0{,}333$ с, как требуется. Если бы $0{,}5$ с было постоянной времени после хранения, получилось бы $33{,}9$ ГОм·м — но по тексту «уменьшилась» относится к $\tau = 0{,}5$ с.

Ответ

\rho = \dfrac{1}{k\varepsilon\varepsilon_0\left(\frac{n}{\tau_0} - \frac{1}{k\tau_0}\right)}\approx22{,}6

ГОм·м.

Ответ

\rho = \dfrac{1}{k\varepsilon\varepsilon_0\left(\frac{n}{\tau_0} - \frac{1}{k\tau_0}\right)}\approx22{,}6

ГОм·м.

Главная идея

Утечка через диэлектрик — сопротивление, параллельное внешнему; произведение сопротивления утечки на ёмкость равно ρεε₀ и не зависит от размеров конденсатора.

Конденсатор с проводящим диэлектриком: собственная постоянная времени утечки ρεε₀.

Где легко ошибиться

Забыть, что ёмкость тоже выросла ( $RC = 1{,}5\tau_0$ а не $\tau_0$ ), или сложить сопротивления последовательно.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 9, версия с ID 5134 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5135, 5136, 5137) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 21) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 3 ↗: ρ = τ/(ε₀ε(βα − 1)), β = ε′/ε, α = τ/τ′ (τ — постоянная до хранения, τ′ — после)).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Ёмкость плоского конденсатора
Сопротивление проводника ρl/S
Параллельное соединение
Разряд конденсатора, τ = RC

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →