Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный цилиндрический сосуд разделен на две части легким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В одной части сосуда находится один моль гелия, объём которого составляет $10\%$ объёма сосуда, а в другой один моль аргона. Гелию квазистатически подводят теплоту, температуру аргона поддерживают постоянной.

Найдите модуль приращения теплоёмкости гелия при увеличении объёма гелия от $10\%$ до $20\%$ объёма сосуда. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ [Дж/(моль $\cdot$ К)]. Теплообменом между гелием и аргоном пренебрегите. Объём поршня мал, по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите в [Дж/(моль $\cdot$ К)] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Процесс не изохорный и не изобарный: гелий расширяется, сжимая аргон при постоянной температуре, и давление растёт. Теплоёмкость в таком процессе зависит от того, где сейчас поршень. Как связаны давление и объём гелия?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШаг поршня

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шаг поршня

Сдвинь поршень на малый шаг в разных местах и сравни, сколько теплоты нужно на один кельвин.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. T = T_A·x/(1 − x); C = 3R/2 + R(1 − x); |ΔC| = R(x₂ − x₁).

Подсказка 1

Пусть $x$ — доля объёма гелия, $V$ — объём сосуда. Давления равны, аргон изотермический: $p = \dfrac{RT_A}{(1-x)V}$ Для гелия $pxV = RT$ откуда $T = T_A\dfrac{x}{1-x}$

Подсказка 2

$C = \dfrac32R + p\dfrac{dV}{dT}$ . Найди $dV$ и $dT$ через $dx$ — величины $T_A$ и $V$ сократятся.

Разобрать решение по шагам

Процесс гелия

Поршень лёгкий, давления равны. Аргон ( $1$ моль) при постоянной температуре $T_A$ занимает $(1-x)V$

p = \frac{RT_A}{(1-x)V}.

Гелий ( $1$ моль): $p\cdot xV = RT$ значит,

T = T_A\frac{x}{1-x}.

Теплоёмкость в точке $x$

Первый закон для малого шага: $\delta Q = \frac32R\,dT + p\,dV$ , поэтому $C = \frac32R + p\dfrac{dV}{dT}$ . Здесь $dV = V\,dx$ и

dT = T_A\frac{dx}{(1-x)^2},\qquad p\frac{dV}{dT} = \frac{RT_A}{(1-x)V}\cdot\frac{V(1-x)^2}{T_A} = R(1-x).

Итак,

C(x) = \frac32R + R(1 - x).

Приращение

Теплоёмкость линейно убывает с $x$

|\Delta C| = R(x_2 - x_1) = 8{,}31\cdot(0{,}2 - 0{,}1) = 0{,}831\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\approx0{,}8\ \text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}.

(Сама теплоёмкость меняется от $19{,}9$ до $19{,}1$ Дж/(моль·К).)

Проверка

Проверка численным расчётом: поршень сдвигался малыми шагами, теплота шага считалась как $\frac32R\,\Delta T + p\,\Delta V$ с давлением изотермического аргона, теплоёмкость — как отношение теплоты к $\Delta T$ при $x = 0{,}1$ и $x = 0{,}2$ разность $0{,}831$ Предельные случаи: при $x \to 0$ поршень почти не держит, $C \to \frac52R$ (как при постоянном давлении); при $x \to 1$ — $C \to \frac32R$ (как при постоянном объёме).

Ответ

$|\Delta C| = R(x_2 - x_1)\approx0{,}8$ Дж/(моль·К).

Ответ

$|\Delta C| = R(x_2 - x_1)\approx0{,}8$ Дж/(моль·К).

Главная идея

Теплоёмкость в процессе равна Cv + p·dV/dT; для гелия, который сжимает изотермический аргон, p·dV/dT = R(1 − x).

Газ за лёгким поршнем работает против другого газа: процесс задаётся равенством давлений, теплоёмкость меняется по ходу процесса.

Где легко ошибиться

Брать постоянную теплоёмкость ( $\frac52R$ или $\frac32R$ ) и получать ноль; или забыть, что давление растёт по ходу процесса.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 6, версия с ID 5122 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5123, 5124, 5125) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 2 ↗: ΔQ = C_V·ΔT_He + R·T_He·ΔV_He/V_He (1); V_He/V_Ar = T_He/T_Ar, ΔV_He/V_He − ΔV_Ar/V_Ar = ΔT_He/T_He (2); ΔV_Ar = −ΔV_He (3); C = C_V + R(1 − α/100%); |ΔC| = R·|α₁ − α₂|/100%). Заявленная прежним рецензентом ошибка знака теплоёмкости не подтверждается: на изображении C = C_V + R(1 − α/100%), и это верно — из p = RT_Ar/(V − V_He) следует C = C_V + R(1 − x), численно C/R = 2,4 при x = 0,1 и 2,3 при x = 0,2. Ответ — модуль |ΔC| = R·Δx, он от знака этого слагаемого и не зависит.

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Первый закон термодинамики
Молярная теплоёмкость газа
Изотермический процесс
Производная

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Процесс гелия

Теплоёмкость в точке xxx

Приращение

Проверка

Где легко ошибиться

Теплоёмкость в точке $x$