Физика · 11 класс · Физтех 2025/26 · третий тур

Задача 10. Катушка, диод и нелинейный элемент

Условие

В электрическую цепь, схема которой представлена на рисунке, подключен нелинейный элемент НЭ, вольтамперная характеристика которого имеет вид U=αI2U = \alpha I^2, где α=0,9\alpha = 0{,}9 [В/А2^2], ЭДС источника и его внутреннее сопротивление равны соответственно 1212 [В] и 11 [Ом], R=2R = 2 [Ом], L=50L = 50 [мГн]. Ключ замыкают. Через некоторое время сила тока в цепи практически перестаёт изменяться. Ключ размыкают.

Найдите заряд, протекший через сопротивление RR после размыкания ключа. Ответ приведите в [мКл] с округлением до целых. Сопротивление диода в прямом направлении много меньше RR, в обратном — бесконечно велико.

RLKℰ, rНЭ
Рисунок к условию
О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2025/26

Пока ключ замкнут и ток установился, напряжение на катушке равно нулю. Что тогда с током через RR? После размыкания ток катушки не может исчезнуть мгновенно — куда он пойдёт?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗамкни и разомкни

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Замкни и разомкни

Запусти часы: ток катушки устанавливается, потом ключ размыкают. Найди заряд через R.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. ℰ = I₀r + αI₀²; после размыкания L·dI/dt = −IR; q = LI₀/R.

Подсказка 1

В установившемся режиме катушка закорачивает ветвь с RR: E=I0r+αI02\mathcal E = I_0r + \alpha I_0^2 — квадратное уравнение для тока катушки I0I_0.

Подсказка 2

После размыкания ток катушки идёт через диод (в прямом направлении) и RR: LdIdt=−IRL\dfrac{dI}{dt} = -IR. Заряд q=∫I dtq = \int I\,dt — подставь I dt=−LR dII\,dt = -\dfrac LR\,dI.

Разобрать решение по шагам
1

Ключ замкнут: установившийся ток

Ток перестал меняться — ЭДС самоиндукции нет, напряжение на катушке (сопротивление нулевое) равно нулю. Значит, напряжение между верхним и нижним проводами равно нулю, и на параллельной ветви «RR + диод» тока нет — независимо от того, в какую сторону включён диод. Весь ток источника идёт через катушку:

E=I0r+αI02:0,9I02+I0−12=0,I0=−1+1+43,21,8≈3,138 А.\mathcal E = I_0r + \alpha I_0^2:\qquad 0{,}9I_0^2 + I_0 - 12 = 0,\qquad I_0 = \frac{-1 + \sqrt{1 + 43{,}2}}{1{,}8}\approx3{,}138\ \text{А}.
2

Ключ разомкнут: куда идёт ток катушки

Ветвь с источником и НЭ разорвана. Ток катушки (сверху вниз) сохраняет направление и замыкается через нижний провод, диод (снизу вверх — прямое направление, сопротивление мало) и RR:

LdIdt=−IR.L\frac{dI}{dt} = -IR.
3

Заряд через RR

q=∫0∞I dt=∫I00(−LR)dI=LI0R=0,05⋅3,1382≈0,0784 Кл≈78 мКл.q = \int_0^\infty I\,dt = \int_{I_0}^{0}\left(-\frac LR\right)dI = \frac{LI_0}{R} = \frac{0{,}05\cdot3{,}138}{2}\approx0{,}0784\ \text{Кл}\approx78\ \text{мКл}.

Проверка

Проверка численным расчётом: вся история интегрировалась по шагам — нарастание тока при замкнутом ключе (L dI/dt=E−Ir−αI2L\,dI/dt = \mathcal E - Ir - \alpha I^2) до установления, затем разряд катушки через RR с суммированием I dtI\,dt: 78,4578{,}45 мКл. Подстановка: 0,9⋅3,1382+3,138=8,862+3,138=12,00{,}9\cdot3{,}138^2 + 3{,}138 = 8{,}862 + 3{,}138 = 12{,}0 В.

Ответ

q=LI0Rq = \dfrac{LI_0}{R}, где E=I0r+αI02\mathcal E = I_0r + \alpha I_0^2; q≈78q\approx78 мКл.

Ответ

q=LI0Rq = \dfrac{LI_0}{R}, где E=I0r+αI02\mathcal E = I_0r + \alpha I_0^2; q≈78q\approx78 мКл.

Главная идея

В установившемся режиме катушка — просто провод, и ток определяется источником и НЭ. После размыкания ток катушки разряжается через R, и заряд равен LI₀/R — без интегрирования экспоненты.

Катушка разряжается через резистор: протёкший заряд равен изменению потокосцепления, делённому на сопротивление.

Где легко ошибиться

Считать, что ток через RR шёл и при замкнутом ключе, или включить НЭ в контур разряда. Ещё ошибка — забыть внутреннее сопротивление при нахождении I0I_0.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 10, версия с ID 5138 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5139, 5140, 5141) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 25) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 3 ↗: I = −r/(2α) + √((r/(2α))² + ℰ/α); −L·ΔI/Δt = R·Δq/Δt; q = LI/R).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →
Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

  • Самоиндукция
  • Закон Ома для полной цепи
  • Диод
  • Квадратное уравнение

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок