Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Нерелятивистский протон, движущийся в однородном магнитном поле, абсолютно упруго сталкивается с неподвижным нейтроном. В результате столкновения вектор скорости протона поворачивается на угол $20^\circ$

Найдите отношение радиуса кривизны траектории протона непосредственно перед столкновением к радиусу кривизны начального участка его траектории после столкновения. Протон до и после столкновения движется в плоскости, перпендикулярной линиям индукции магнитного поля. Массы протона и нейтрона считайте равными. Ответ приведите с округлением до десятых. Ядерная реакция при таком ударе не состоялась. Действие магнитной силы на протон в процессе соударения считайте пренебрежимо малым.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Радиус окружности в магнитном поле $r = \dfrac{mv}{qB}$ — пропорционален скорости. Значит, нужно знать, во сколько раз изменилась скорость протона. Что особенного в упругом ударе одинаковых масс, когда одна покоится?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУдар в поле

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Удар в поле

Запусти удар и посмотри на скорости протона и нейтрона сразу после него.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Скорости после удара перпендикулярны; v₁ = v·cosθ; r₁/r₂ = 1/cosθ.

Подсказка 1

Импульс: $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ . Энергия: $v^2 = v_1^2 + v_2^2$ Из этих двух равенств следует, что $\vec v_1 \perp \vec v_2$

Подсказка 2

Векторы $\vec v_1$ $\vec v_2$ и $\vec v$ образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой $v$ угол между $\vec v$ и $\vec v_1$ равен $\theta$ Тогда $v_1 = v\cos\theta$

Разобрать решение по шагам

Скорости после удара перпендикулярны

Во время удара магнитной силой пренебрегаем, массы равны. Законы сохранения импульса и энергии (нейтрон покоился):

\vec v = \vec v_1 + \vec v_2,\qquad v^2 = v_1^2 + v_2^2.

Возведём первое в квадрат: $v^2 = v_1^2 + v_2^2 + 2\vec v_1\cdot\vec v_2$ . Сравнивая со вторым, $\vec v_1\cdot\vec v_2 = 0$ — скорости после удара перпендикулярны.

Скорость протона после удара

Векторы $\vec v_1$ и $\vec v_2$ — катеты прямоугольного треугольника с гипотенузой $\vec v$ Скорость протона повернулась на $\theta$ это угол между $\vec v$ и $\vec v_1$

v_1 = v\cos\theta.

Отношение радиусов

Протон движется перпендикулярно полю, $r = \dfrac{mv}{eB}$ — радиус пропорционален скорости:

\frac{r_{до}}{r_{после}} = \frac{v}{v_1} = \frac{1}{\cos\theta} = \frac1{\cos20^\circ}\approx1{,}064\approx1{,}1.

Нейтрон в поле не отклоняется и улетает по прямой.

Проверка

Проверка численным расчётом: удар моделировался как упругое столкновение одинаковых гладких шаров при разных прицельных расстояниях; подбирался тот, при котором протон поворачивает на $20^\circ$ Импульс и энергия сохраняются, скорость протона $0{,}9397v$ отношение радиусов $1{,}064$

Ответ

$\dfrac{r_{до}}{r_{после}} = \dfrac1{\cos\theta}\approx1{,}1$ .

Ответ

$\dfrac{r_{до}}{r_{после}} = \dfrac1{\cos\theta}\approx1{,}1$ .

Главная идея

При упругом ударе одинаковых масс, одна из которых покоится, скорости после удара перпендикулярны; радиус в магнитном поле пропорционален скорости.

Упругий удар равных масс о покоящееся тело: разлёт под прямым углом.

Где легко ошибиться

Считать, что протон сохраняет скорость (поворот без потери энергии) и получить отношение $1$ или взять $\sin\theta$ вместо $\cos\theta$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 7, версия с ID 5126 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5127, 5128, 5129) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 3 ↗: R/R₁ = 1/cosα (R — радиус кривизны до удара, R₁ — после, α — угол поворота скорости протона)).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

Законы сохранения импульса и энергии
Движение заряда в магнитном поле
Скалярное произведение

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →