Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В плоский конденсатор, заряженный до напряжения $2$ [В], вставляют (см. рис.) две пластины из диэлектрика ( $\varepsilon = 11$ ) таким образом, что между ними остается небольшой зазор шириной $h = 0{,}6\cdot d$ где $d = 13$ [мм] — расстояние между обкладками конденсатора. Затем конденсатор подключают к батарее с ЭДС $\mathcal E = 2$ [В] и небольшим внутренним сопротивлением $r$ Через некоторое время сила тока в цепи становится практически равной нулю.

Найдите напряжённость электрического поля в зазоре после подключения конденсатора к батарее. Ответ приведите в [В/м] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Ток прекратился — значит, напряжение на конденсаторе стало равным ЭДС. Что было до подключения, уже не важно. Как это напряжение делится между воздушным зазором и диэлектриком?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодключи батарею

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подключи батарею

Подключи батарею и посмотри, как напряжение делится между зазором и пластинами.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. U = ℰ; E_д = E_з/ε; E_з = ℰ/(h + (d − h)/ε).

Подсказка 1

Слои перпендикулярны полю, поэтому электрическая индукция $D = \varepsilon\varepsilon_0E$ во всех слоях одна и та же: в диэлектрике поле в $\varepsilon$ раз слабее, чем в зазоре.

Подсказка 2

Напряжение — сумма по слоям: $\mathcal E = E_з h + \dfrac{E_з}{\varepsilon}(d - h)$ .

Разобрать решение по шагам

Напряжение после подключения

Когда ток в цепи прекратился, на внутреннем сопротивлении нет падения напряжения, и напряжение на конденсаторе равно ЭДС: $U = \mathcal E = 2$ В. Начальный заряд и то, как вставляли пластины, на это состояние не влияют.

Поле в слоях

Поле перпендикулярно слоям. На границе слоёв нет свободных зарядов, поэтому нормальная составляющая индукции одна и та же:

\varepsilon_0E_з = \varepsilon\varepsilon_0E_д\quad\Rightarrow\quad E_д = \frac{E_з}{\varepsilon}.

Обе пластины вместе имеют толщину $d - h$

Ответ

\mathcal E = E_зh + \frac{E_з}{\varepsilon}(d - h)\quad\Rightarrow\quad E_з = \frac{\mathcal E}{h + \frac{d-h}{\varepsilon}}.

Здесь $h + \dfrac{d-h}{\varepsilon} = 13\cdot\left(0{,}6 + \dfrac{0{,}4}{11}\right)$ мм $\approx8{,}27$ мм, поэтому

E_з = \frac{2\ \text{В}}{0{,}00827\ \text{м}}\approx241{,}8\ \text{В/м}\approx242\ \text{В/м}.

Проверка

Проверка другим способом: три слоя — три последовательных конденсатора с ёмкостями $\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{t}$ , $\dfrac{\varepsilon_0S}{h}$ , $\dfrac{\varepsilon\varepsilon_0S}{t}$ ( $t = \frac{d-h}{2}$ ). Заряд при напряжении $\mathcal E$ и напряжение на воздушном слое дают то же поле $241{,}76$ В/м. Для сравнения: без пластин было бы $\dfrac{\mathcal E}{d} = 154$ В/м.

Ответ

$E_з = \dfrac{\mathcal E}{h + (d - h)/\varepsilon}\approx242$ В/м.

Ответ

$E_з = \dfrac{\mathcal E}{h + (d - h)/\varepsilon}\approx242$ В/м.

Главная идея

После подключения к батарее напряжение равно ЭДС, а в слоистом конденсаторе индукция одинакова во всех слоях: поле в диэлектрике в ε раз слабее, чем в зазоре.

Слои диэлектрика параллельны обкладкам: последовательное соединение, одна и та же индукция D.

Где легко ошибиться

Использовать начальное напряжение и сохранение заряда (конденсатор потом подключили к батарее) или считать поле в зазоре равным $\mathcal E/h$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 8, версия с ID 5130 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5131, 5132, 5133) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 17) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 3 ↗: E = (U/d)·εd/(d + h(ε − 1)) = (U/d)·ε/(1 + α(ε − 1)), U = ℰ (ЭДС), α = h/d).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Нужна школьная база

Плоский конденсатор
Диэлектрик в электрическом поле
Последовательное соединение конденсаторов

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →