Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный цилиндрический сосуд с вертикальными гладкими стенками разделён на две части равного объёма лёгким поршнем, который может скользить в сосуде без трения. В верхней части сосуда находится $1{,}1$ моль гелия при температуре $100\,^\circ$ С, в нижней части — $1$ моль гелия, вода и водяной пар при температуре $100\,^\circ$ С. Температуру в цилиндре медленно уменьшили почти до $0\,^\circ$ С.

Найдите массу сконденсировавшегося водяного пара. Давление водяного пара при конечной температуре считайте пренебрежимо малым. Молярная масса воды $18$ г/моль. Ответ приведите в [г] с точностью до десятых. Начальный и конечный объёмы воды много меньше объёма сосуда.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Поршень лёгкий — давления сверху и снизу одинаковые. Объёмы и температуры частей тоже одинаковые. Что из этого следует для количества газа в нижней части?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОхлади сосуд

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Охлади сосуд

Охлаждай сосуд и следи за поршнем: сколько пара было и сколько его сконденсировалось?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Равные p, V, T: ν₁ = ν₂ + ν_пара; m = (ν₁ − ν₂)·18 г/моль.

Подсказка 1

Уравнение состояния для каждой части: $pV = \nu RT$ При одинаковых $p$ $V$ и $T$ количество газа одинаковое: сверху $\nu_1$ моль гелия, снизу $\nu_2$ моль гелия плюс пар.

Подсказка 2

Значит, пара $\nu_1 - \nu_2$ моль. При конечной температуре его давление пренебрежимо мало — сконденсировался весь пар.

Разобрать решение по шагам

Сколько пара в начале

Поршень лёгкий и скользит без трения (вес газа не учитываем), поэтому давления сверху и снизу равны. Объёмы частей равны, температура одна, а объём воды мал. Для смеси газов в нижней части давление — сумма парциальных, $pV = (\nu_2 + \nu_п)RT$ сверху $pV = \nu_1RT$ Отсюда

\nu_п = \nu_1 - \nu_2 = 1{,}1 - 1 = 0{,}1\ \text{моль}.

Давление насыщенного пара при $100\,^\circ$ С и сам объём сосуда для ответа не нужны. Для картины полезно знать: пар внизу насыщенный, его парциальное давление $p_s(100\,^\circ\text{С}) \approx 101$ кПа, поэтому объём половины $\dfrac V2 = \dfrac{\nu_п RT}{p_s}\approx 3{,}1$ л, а всё давление в сосуде $p = \dfrac{\nu_1}{\nu_1-\nu_2}\,p_s \approx 1{,}1$ МПа — гелий даёт в десять раз больше, чем пар.

Что останется при $0\,^\circ$ С

Пока вода есть, пар насыщенный, и при охлаждении он конденсируется (поршень при этом опускается). По условию при конечной температуре давление пара пренебрежимо мало — пара практически не осталось, сконденсировался весь:

m = \nu_п M = 0{,}1\cdot18 = 1{,}8\ \text{г}.

Проверка

Проверка численным расчётом: объём сосуда найден из парциального давления пара при $100\,^\circ$ С (насыщенный пар, $101{,}3$ кПа): $V \approx 6{,}1$ л, начальное давление в сосуде $\approx 1{,}11$ МПа. Затем сосуд охлаждался по шагам с табличной кривой насыщенного пара, и поршень каждый раз вставал так, чтобы давления были равны: при $90\,^\circ$ С нижняя часть занимает $49{,}3\,\%$ давление $\approx 1{,}07$ МПа, сконденсировалось $\approx 0{,}54$ г. Если в конце положить давление пара равным нулю (как велит условие), сконденсировалось ровно $1{,}8$ г. С настоящим давлением пара при $0\,^\circ$ С ( $0{,}61$ кПа) паром осталось бы $\approx 0{,}014$ г, то есть $1{,}786$ г $\to 1{,}8$ г; в версии 5121 остаток $\approx 0{,}052$ г даёт $7{,}148 \to 7{,}1$ г вместо $7{,}2$ г — поэтому условие и велит пренебречь давлением пара. Официальные указания к решению дают ту же формулу $m = (\nu_1-\nu_2)\mu$

Ответ

$m = (\nu_1 - \nu_2)M = 1{,}8$ г.

Ответ

$m = (\nu_1 - \nu_2)M = 1{,}8$ г.

Главная идея

Равные давления, объёмы и температуры означают равные количества газа: пара было столько, на сколько гелия сверху больше, чем снизу.

Две части сосуда с газом в равновесии при одинаковых T и V: сравни количества вещества, не вычисляя давлений.

Где легко ошибиться

Пытаться найти объём сосуда из давления насыщенного пара и считать массу через него, или считать, что пар занимает только «свободный» объём и даёт отдельное давление сверху.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 5, версия с ID 5118 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5119, 5120, 5121) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 12) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 2 ↗: m = (ν₁ − ν₂)·μ; для ID 5118 это 1,8 г). Официальные указания получают то же равенство количеств газа из равенства давлений, объёмов и температур.

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение Менделеева — Клапейрона
Закон Дальтона
Насыщенный пар

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →

Условие

Исследуй задачу

Сколько пара в начале

Что останется при 0 ∘0\,^\circ0∘С

Проверка

Где легко ошибиться

Что останется при $0\,^\circ$ С