Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Тепловоз провозит железнодорожную платформу с постоянной скоростью $1{,}8$ [м/с] под неподвижным бункером, из которого на платформу насыпается песок. Ежесекундно из бункера на платформу загружается $0{,}5$ тонны песка. Высота бункера над платформой $1{,}8$ [м]. Длина платформы $12$ [м].

Найдите теплоту, которая выделится при провозе платформы под бункером вследствие погрузки песка. Песок ложится на дно платформы ровным слоем, толщина которого мала по сравнению с высотой бункера над платформой. Весь песок, упавший на платформу из бункера, остаётся на платформе. Ответ приведите в [кДж] с округлением до целого числа. Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ].

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Каждая порция песка дважды «неупруго сталкивается»: по вертикали она падает и останавливается, по горизонтали её разгоняют от нуля до скорости платформы. Сколько энергии теряется в каждом из этих процессов?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПогрузка

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Погрузка

Запусти погрузку и сравни работу тепловоза с энергией, которую получил песок.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. M = μL/v; Q = M(gh + v²/2).

Подсказка 1

Платформа под бункером $t = \dfrac Lv$ за это время насыпается $M = \mu\dfrac Lv$ песка. По вертикали каждый килограмм теряет кинетическую энергию $gh$ набранную при падении.

Подсказка 2

По горизонтали тепловоз, чтобы скорость не падала, совершает работу $Mv^2$ (сила $\mu v$ на пути $vt$ ), а песок получает только $\dfrac{Mv^2}{2}$ Разница — тоже тепло.

Разобрать решение по шагам

Сколько песка

Платформа длиной $L$ проезжает под бункером за $t = \dfrac Lv = \dfrac{12}{1{,}8}\approx6{,}67$ с. За это время на неё падает

M = \mu t = 500\cdot\frac{12}{1{,}8}\approx3333\ \text{кг}.

Тепло от падения

Песок падает с высоты $h$ и у дна платформы имеет вертикальную скорость $\sqrt{2gh}$ Он останавливается по вертикали (неупругий удар), и вся эта кинетическая энергия переходит в тепло:

Q_1 = Mgh = 3333\cdot10\cdot1{,}8 = 60\,000\ \text{Дж}.

Тепло от разгона по горизонтали

Песок попадает на платформу с нулевой горизонтальной скоростью, а должен ехать со скоростью $v$ Чтобы платформа не тормозила, тепловоз тянет с дополнительной силой $F = \mu v$ (столько импульса в секунду нужно сообщать песку) и за время $t$ совершает работу

A = Fvt = Mv^2.

Песок получает кинетическую энергию $\dfrac{Mv^2}{2}$ остальное — тепло:

Q_2 = Mv^2 - \frac{Mv^2}{2} = \frac{Mv^2}{2} = \frac{3333\cdot1{,}8^2}{2} = 5400\ \text{Дж}.

(То же видно в системе платформы: песок «налетает» со скоростью $v$ и останавливается.)

Ответ

Q = M\left(gh + \frac{v^2}{2}\right) = 3333\cdot19{,}62\approx65\,400\ \text{Дж}\approx65\ \text{кДж}.

Проверка

Проверка суммированием по порциям: песок делился на $20\,000$ порций, для каждой тепло = (кинетическая энергия при падении + работа тепловоза на её разгон) − кинетическая энергия на платформе; сумма $65{,}4$ кДж. Если бы учитывали только горизонтальную часть, получилось бы $5{,}4$ кДж — но вертикальный удар тоже вызван погрузкой.

Ответ

$Q = \mu\dfrac Lv\left(gh + \dfrac{v^2}{2}\right)\approx65$ кДж.

Ответ

$Q = \mu\dfrac Lv\left(gh + \dfrac{v^2}{2}\right)\approx65$ кДж.

Главная идея

Погрузка — это два неупругих процесса: вертикальная остановка песка (тепло Mgh) и горизонтальный разгон (тепло Mv²/2 — половина работы тепловоза).

Масса непрерывно присоединяется к телу, движущемуся с постоянной скоростью: работа внешней силы вдвое больше кинетической энергии присоединённой массы.

Где легко ошибиться

Учесть только одну часть — либо $Mgh$ либо $\frac{Mv^2}{2}$ Или считать, что вся работа тепловоза $Mv^2$ идёт в тепло.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 3, версия с ID 5110 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5111, 5112, 5113) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 1 ↗: Q = mgh + mV²/2; m = μt = μL/V; Q = μL(gh/V + V/2)).

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

Закон сохранения энергии
Импульс и сила
Неупругий удар

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Закон сохранения импульса

Задать вопрос по задаче →