Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Шарик движется в однородном поле тяжести по одной траектории туда и обратно между двумя взаимно перпендикулярными полуплоскостями, абсолютно упруго ударяясь о них (см. рис.). Угол наклона одной полуплоскости к горизонту $10^\circ$ расстояние по горизонтали между точками соударения шарика с полуплоскостями $l = 20$ [см].

Найдите модуль минимальной скорости шарика в процессе полёта. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых. Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ].

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Шарик летает «туда и обратно по одной траектории». Что это значит для удара: под каким углом шарик должен подлетать к плоскости, чтобы после удара полететь точно назад? И где на дуге скорость наименьшая?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПодбери дугу

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Подбери дугу

Подбери скорость в верхней точке так, чтобы расстояние между ударами было равно l.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Удары по нормали: вылет под 90° − α, падение под α; l = u²/(g·sinα·cosα); v_min = u.

Подсказка 1

Чтобы после упругого удара вернуться по той же дуге, шарик должен ударяться перпендикулярно плоскости. Значит, от пологой плоскости (наклон $\alpha$ ) он вылетает под углом $90^\circ - \alpha$ к горизонту, а к крутой подлетает под углом $\alpha$

Подсказка 2

Горизонтальная скорость $u$ постоянна и равна наименьшей скорости (в верхней точке). Вертикальная скорость меняется от $u\,\mathrm{ctg}\,\alpha$ вверх до $u\,\mathrm{tg}\,\alpha$ вниз — так находится время полёта, а с ним и $l$

Разобрать решение по шагам

Удары — по нормали

При абсолютно упругом ударе о неподвижную плоскость касательная составляющая скорости сохраняется, а нормальная меняет знак. Шарик полетит точно назад, только если касательной составляющей нет — то есть он подлетает перпендикулярно плоскости.

Плоскости перпендикулярны, пологая наклонена на $\alpha$ крутая — на $90^\circ - \alpha$ Поэтому от пологой шарик вылетает под углом $90^\circ - \alpha$ к горизонту, а на крутую падает под углом $\alpha$ к горизонту.

Время полёта

Горизонтальная составляющая скорости $u$ в полёте не меняется. Вертикальная в начале $u\,\mathrm{ctg}\,\alpha$ (вверх), в конце $u\,\mathrm{tg}\,\alpha$ (вниз). Она убывает со скоростью $g$ поэтому

t = \frac{u(\mathrm{ctg}\,\alpha + \mathrm{tg}\,\alpha)}{g} = \frac{u}{g\sin\alpha\cos\alpha}.

Наименьшая скорость

По горизонтали шарик пролетает $l = ut$

l = \frac{u^2}{g\sin\alpha\cos\alpha}\quad\Rightarrow\quad u = \sqrt{gl\sin\alpha\cos\alpha}.

Скорость $\sqrt{u^2 + v_y^2}$ наименьшая там, где $v_y = 0$ — в верхней точке дуги, и она равна $u$

u = \sqrt{10\cdot0{,}2\cdot\sin10^\circ\cos10^\circ} = \sqrt{0{,}342},

u\approx0{,}585\ \text{м/с}\approx0{,}6\ \text{м/с}.

Проверка

Проверка геометрии: такая дуга действительно умещается между плоскостями. Разность высот точек удара по дуге $\dfrac{u^2(\mathrm{ctg}^2\alpha - \mathrm{tg}^2\alpha)}{2g} = l\,\mathrm{ctg}\,2\alpha$ , а по плоскостям она получается такой же, если вершина угла по горизонтали ровно посередине между точками удара. Численно: шарик запускали по нормали к пологой плоскости и подбирали точку старта, пока он не упал на крутую по нормали, — расстояние между ударами совпало с $l$

Ответ

$v_{\min} = \sqrt{gl\sin\alpha\cos\alpha}\approx0{,}6$ м/с.

Ответ

$v_{\min} = \sqrt{gl\sin\alpha\cos\alpha}\approx0{,}6$ м/с.

Главная идея

Полёт туда и обратно по одной траектории возможен, только если удары происходят по нормали. Это задаёт углы вылета и падения, а наименьшая скорость — горизонтальная составляющая.

Тело возвращается по той же траектории после упругого удара: значит, удар перпендикулярен поверхности.

Где легко ошибиться

Искать наименьшую скорость в точке удара или считать, что шарик вылетает под углом $\alpha$ к горизонту (а не к плоскости).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 1, версия с ID 5102 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5103, 5104, 5105) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 3 попытка», стр. 1 ↗: V₁cosα − gt = −V₂sinα; V₁sinα = V₂cosα; |V_мин| = |V₁sinα| = √(gl·sin2α/2)).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Движение тела, брошенного под углом
Упругий удар о неподвижную стенку
Тригонометрия: tg и ctg

Приёмы решения: Координаты и проекции · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →