Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Однородный обруч катится без проскальзывания по внутренней поверхности закреплённого цилиндра (см. рис.) так, что центр масс обруча движется по окружности в вертикальной плоскости. Модуль максимального центростремительного ускорения центра масс обруча в $50$ раз больше модуля минимального.

Найдите модуль максимального центростремительного ускорения центра масс обруча. Ответ приведите в [м/с $^2$ ] c округлением до целого значения. Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ].

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Ускорение центра $a = \dfrac{v^2}{\rho}$ где $\rho$ — радиус окружности центра. Наибольшее — внизу, наименьшее — вверху. Как связаны скорости внизу и вверху, если обруч не только движется, но и вращается?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПрокати обруч

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Прокати обруч

Подбери ускорение центра вверху так, чтобы отношение ускорений было как в условии.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. E = mv²; a_max = a_min + 2g; a_max = 2gk/(k − 1); обруч прижат вверху, только если k ≤ 3; при конечном μ требуется также |F| ≤ μN; при k ≥ 3 раньше формального N = 0 начинается скольжение.

Подсказка 1

При качении без проскальзывания угловая скорость обруча $\omega = \dfrac{v}{r}$ и его кинетическая энергия $\dfrac{mv^2}{2} + \dfrac{mr^2\omega^2}{2} = mv^2$ — вдвое больше, чем у скользящего тела. Трение покоя работы не совершает.

Подсказка 2

Энергия: $mv_н^2 = mv_в^2 + mg\cdot2\rho$ , то есть $a_{\max} = a_{\min} + 2g$ Вместе с $a_{\max} = k\,a_{\min}$ это два уравнения.

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. Обруч катится без проскальзывания, центр движется по окружности, $a_{\max}=50\,a_{\min}$ Сохранение энергии катящегося обруча даёт $a_{\max}=a_{\min}+2g$ отсюда формально $a_{\max}=\dfrac{2gk}{k-1}\approx20$ м/с $^2$ — так и в официальном решении.
Противоречие. При $k=50$ такого движения нет: в верхней точке цилиндр должен был бы тянуть обруч к себе ( $N\approx-0{,}96\,mg$ ), а он может только давить. Полный круг без скольжения возможен лишь при $1<k<3$ и достаточном трении; при $k\ge3$ и любом конечном трении обруч раньше начнёт скользить (при $\mu=0{,}5$ — примерно на $91^\circ$ от низа).
Как мы отвечаем. Даём $20$ м/с $^2$ как следствие условия и прямо говорим, что это не ускорение реального полного оборота. Что будет после начала скольжения, условие не определяет: нужен закон трения скольжения, которого в условии нет.

Энергия катящегося обруча

Обруч радиуса $r$ катится без проскальзывания, точка касания неподвижна, поэтому $\omega = \dfrac vr$ где $v$ — скорость центра. Вся масса обруча на расстоянии $r$ от центра, момент инерции $mr^2$

E_к = \frac{mv^2}{2} + \frac{mr^2\omega^2}{2} = mv^2.

Трение покоя в точке касания работы не совершает, сопротивления нет — сохраняется $mv^2 + mgh$

Связь ускорений внизу и вверху

Центр обруча движется по окружности радиуса $\rho$ между верхней и нижней точками перепад высоты $2\rho$

mv_н^2 = mv_в^2 + 2mg\rho\quad\Rightarrow\quad \frac{v_н^2}{\rho} = \frac{v_в^2}{\rho} + 2g,

то есть $a_{\max} = a_{\min} + 2g$ — радиусы не нужны.

Ответ

Из $a_{\max} = k\,a_{\min}$ и $a_{\max} - a_{\min} = 2g$

a_{\min} = \frac{2g}{k - 1},\qquad a_{\max} = \frac{2gk}{k - 1} = \frac{2\cdot10\cdot50}{49}\approx20{,}4\ \text{м/с}^2\approx20\ \text{м/с}^2.

Проверка: прижат ли обруч вверху

В верхней точке к центру направлены сила тяжести и сила давления цилиндра $N$ $m a_{\min} = mg + N$ откуда

N = m(a_{\min} - g) = mg\,\frac{3 - k}{k - 1}.

Цилиндр может только давить, $N \ge 0$ поэтому движение из условия возможно лишь при $k \le 3$ По версиям: $k = 2$ — $N = mg$ обруч прижат; $k = 3$ — $N = 0$ предельный случай; $k = 5$ — $N = -0{,}5\,mg$ $k = 50$ — $N \approx -0{,}96\,mg$ В двух последних версиях цилиндр должен был бы тянуть обруч к себе, а он не может. Ответ $a_{\max} = \dfrac{2gk}{k-1}$ верен как следствие условия «центр движется по окружности», но при $k = 50$ такое движение без дополнительного удержания невозможно.

Почему скольжение начинается раньше формального отрыва

Пусть $\varphi$ — угол поворота центра от нижней точки. Пока обруч катится без скольжения, из энергии $a(\varphi) = a_{\max} - g(1 - \cos\varphi)$ , а сила давления $N = m\,(a + g\cos\varphi) = m\,(a_{\max} - g + 2g\cos\varphi)$ . Формально она обращается в нуль при $\cos\varphi = -\dfrac{k+1}{2(k-1)}$ : для $k=50$ это около $121^\circ$ от низа, для $k=5$ — около $139^\circ$ Но эти углы ещё нельзя назвать углами реального отрыва: сначала нужно проверить трение.

Качение без проскальзывания держит сила трения покоя. Вдоль траектории $m a_\tau = -mg\sin\varphi + F$ и для вращения $mr^2\cdot\dfrac{a_\tau}{r} = -Fr$ , откуда $F = \dfrac{mg\sin\varphi}{2}$ . Нужно $F \le \mu N$ наибольшее отношение $F/N$ даёт

\mu_{\min} = \frac{k-1}{2\sqrt{(3-k)(3k-1)}}\quad(k<3),

для $k = 2$ это $\dfrac{1}{2\sqrt5}\approx0{,}2236$ . Для полного круга нужна именно эта граница: $\mu=0{,}22$ немного не хватает.

При $k\ge3$ отношение $|F|/N$ неограниченно растёт перед точкой, где $N=0$ Поэтому при любом конечном $\mu$ обруч начнёт скользить раньше; закон энергии $mv^2+mgh=\mathrm{const}$ после этого использовать нельзя. Например, при $k=50$ $\mu=0{,}5$ качение заканчивается уже примерно на $91{,}2^\circ$ от низа, при ещё положительной реакции. Дальнейший угол отрыва зависит от трения скольжения, не заданного в условии.

В модели основной режим останавливается на границе $|F|=\mu N$ Отдельная предельная схема допускает неограниченное трение до $N=0$ и лишь затем показывает свободный полёт до удара. Она помогает разобрать формулы, но не предсказывает движение реального обруча с конечным трением.

Проверка

Проверка формальной модели: движение обруча интегрировалось по уравнениям для твёрдого тела (поступательное движение, вращение и связь $v = \omega r$ ); отношение наибольшего и наименьшего ускорений получилось $50{,}0$ наибольшее ускорение $20{,}41$ м/с $^2$ Там же вычислены сила давления и сила трения вдоль всей окружности: при $k = 50$ и $k = 5$ сила давления становится отрицательной ещё до верхней точки (формальное $N=0$ при $k = 50$ — за $59^\circ$ до неё; при конечном трении скольжение начинается раньше), при $k = 3$ она равна нулю ровно вверху, при $k = 2$ положительна всюду, а наибольшее отношение $F/N$ совпадает с формулой для $\mu_{\min}$ ( $0{,}2236$ при $k = 2$ ). Формула $a_{\max} = \dfrac{2g\alpha}{\alpha - 1}$ совпадает с официальными указаниями к решению (файл «Решения Ф11 3 попытка», стр. 1), в которых отрыв не обсуждается.

Ответ

$a_{\max} = \dfrac{2gk}{k-1}\approx20$ м/с $^2$ — при условии задачи, что центр обруча движется по окружности; при $k = 50$ свободное качение по полному кругу физически невозможно. Движение после начала скольжения условием не определено.

Ответ

Главная идея

Кинетическая энергия катящегося обруча mv², поэтому разность ускорений внизу и вверху равна 2g независимо от радиусов. Проверка силы давления показывает, что движение по окружности возможно только при k ≤ 3; при k ≥ 3 и конечном трении раньше начинается скольжение.

Тело катится по окружности: энергия с учётом вращения связывает скорости в разных точках; отрыв проверяют по знаку силы реакции.

Где легко ошибиться

Забыть энергию вращения ( $\frac{mv^2}{2}$ вместо $mv^2$ ) — тогда получится $a_{\max} - a_{\min} = 4g$ и ответ $\approx 41$ м/с $^2$ И не проверить, прижат ли обруч вверху.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 2, версия с ID 5106 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5107, 5108, 5109) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 3 попытка», стр. 1 ↗: a_max = 2gα/(α − 1), где α = a_max/a_min; для α = 50 это ≈ 20,4 → 20 м/с²). Официальные указания используют тот же закон сохранения энергии для катящегося обруча и дают ту же формулу. В них не проверяется сила давления: при k = 50 и k = 5 движение по окружности невозможно (при конечном трении начнётся скольжение). На странице ответ дан при условии задачи, невозможность названа явно.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Центростремительное ускорение
Кинетическая энергия вращения
Качение без проскальзывания
Второй закон Ньютона

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →