Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Длинная доска массой $9$ [кг] движется поступательно по горизонтальной гладкой поверхности со скоростью $1$ [м/с] и абсолютно неупруго сталкивается с покоящимся однородным бруском 1 (см. рис.) длиной $25$ см и массой $1$ [кг]. На бруске 1 лежит такой же брусок 2. Трение между брусками пренебрежимо мало. Высота брусков и доски одинакова. Коэффициент трения между бруском 2 и доской $0{,}1$

Найдите перемещение бруска 2 относительно доски за время с момента столкновения доски с нижним бруском до момента прекращения относительного движения бруска 2 и доски. Ответ приведите в [см] с округлением до целого числа. Ускорение свободного падения $10$ [м/с $^2$ ].

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

После удара брусок 1 уезжает вместе с доской, а брусок 2 (трения о брусок 1 нет) остаётся на месте — доска «подъезжает» под него. Как меняется сила трения, пока брусок 2 наполовину на бруске 1, наполовину на доске?

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНаезд доски

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Наезд доски

Запусти движение после удара и посмотри, как меняется трение и сдвиг бруска 2 по доске.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. v₁ = Mv₀/(M + m); μ* = m(M + m)/(M + 2m); s = l/2 + μ*v₁²/(2μmg), если μ*v₁²/2 > μmgl/2.

Подсказка 1

Удар: $v_1 = \dfrac{Mv_0}{M+m}$ Дальше удобно считать энергию относительного движения: $E = \dfrac{\mu^* v_1^2}{2}$ , где $\mu^* = \dfrac{m(M+m)}{M+2m}$ — приведённая масса бруска 2 и системы «доска + брусок 1».

Подсказка 2

Работа трения на относительном сдвиге $x$ пока брусок наезжает ( $x \le l$ ), сила растёт от $0$ до $\mu mg$ линейно — работа $\dfrac{\mu mgl}{2}$ дальше сила постоянна. Относительное движение прекращается, когда работа трения равна $E$

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. После абсолютно неупругого удара доска и брусок 1 едут вместе со скоростью $0{,}9$ м/с. Брусок 2 по бруску 1 скользит без трения и наезжает на доску; трение $\mu$ действует только там, где он лежит на доске.
Допускаем. Пока брусок 2 лежит на доске частью длины $x$ на доску приходится доля $\dfrac xl$ его веса (сила трения $\mu mg\dfrac xl$ ). Это модель равномерного давления; строго из условия она не следует: трение на нижней грани создаёт момент, и давление жёсткого бруска на две опоры уравнениями равновесия не определяется.
Как это влияет на ответ. В модели равномерного давления работа трения при наезде равна $\dfrac{\mu mgl}{2}=0{,}125$ Дж, а полный сдвиг — примерно $49$ см, как в официальном решении. Другое распределение нагрузки меняет эту работу и сдвиг. По условию нельзя однозначно определить эту поправку: нужна уточнённая модель контакта, учитывающая высоту бруска и распределение давления.

Удар доски о брусок 1

Брусок 2 лежит на бруске 1 без трения, при ударе он не участвует. Доска и брусок 1 после абсолютно неупругого удара едут вместе:

v_1 = \frac{Mv_0}{M+m} = \frac{9\cdot1}{10} = 0{,}9\ \text{м/с}.

Энергия относительного движения

Брусок 2 по-прежнему покоится, доска движется под ним. Пусть $x$ — сдвиг бруска 2 относительно доски. Сила трения $F$ разгоняет брусок 2 и тормозит систему массы $M+m$ так что относительная скорость убывает с ускорением $F\left(\dfrac1m + \dfrac1{M+m}\right) = \dfrac{F}{\mu^*}$ , где

\mu^* = \frac{m(M+m)}{M+2m} = \frac{1\cdot10}{11}\approx0{,}909\ \text{кг}.

Относительное движение остановится, когда работа трения на сдвиге (сила × относительный путь) сравняется с

E = \frac{\mu^* v_1^2}{2} = \frac{0{,}909\cdot0{,}81}{2}\approx0{,}368\ \text{Дж}.

Трение растёт, пока брусок наезжает

Пока брусок 2 лежит на доске частью длины $x < l$ остальное — на бруске 1 (там трения нет). В принятой модели равномерного давления (см. допущение) доска держит долю $\dfrac xl$ его веса и

F = \mu mg\frac xl.

Работа такой силы на сдвиге от $0$ до $l$ равна площади треугольника: $\dfrac{\mu mgl}{2} = \dfrac{0{,}1\cdot1\cdot10\cdot0{,}25}{2} = 0{,}125$ Дж. Это меньше $E$ значит, брусок 2 целиком наедет на доску и ещё поскользит с силой $\mu mg = 1$ Н.

Сдвиг

\frac{\mu mgl}{2} + \mu mg\,(s - l) = E\quad\Rightarrow\quad s = \frac l2 + \frac{E}{\mu mg} = 0{,}125 + \frac{0{,}368}{1}\approx0{,}493\ \text{м}\approx49\ \text{см}.

Проверка

Проверка численным расчётом: движение после удара интегрировалось по шагам с трением $\mu mg\cdot\min(1, x/l)$ пока скорости не сравнялись, — сдвиг $49{,}3$ см. Конечная общая скорость $\dfrac{Mv_0}{M+2m} = 0{,}818$ м/с совпадает с законом сохранения импульса. Для сравнения: если бы трение сразу было $\mu mg$ вышло бы $37$ см.

Ответ

$s = \dfrac l2 + \dfrac{\mu^* v_1^2}{2\mu mg}\approx49$ см.

Ответ

$s = \dfrac l2 + \dfrac{\mu^* v_1^2}{2\mu mg}\approx49$ см.

Главная идея

Работа трения на относительном сдвиге равна энергии относительного движения. Пока брусок наезжает на доску, сила трения растёт пропорционально перекрытию, и её работа — площадь треугольника.

Тело переезжает с гладкой опоры на шероховатую: сила трения растёт с долей тела на шероховатой части.

Где легко ошибиться

Считать трение сразу полным $\mu mg$ (получится $37$ см) или забыть, что тормозится и доска (взять массу бруска 2 вместо приведённой массы).

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 4, версия с ID 5114 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 5115, 5116, 5117) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 3 попытка», стр. 2 ↗: V_к = V₀·M/(M + 2m); (M + m)V²/2 = (M + 2m)V_к²/2 + μmg(x + l/2); x + l = M²V₀²/(2μg(M + m)(M + 2m)) + l/2). Формула и число совпадают. Член μmg·l/2 означает ту же модель, что в карточке (сила трения пропорциональна доле бруска 2, лежащей на доске), но в официальном тексте она не оговорена; не проверено и условие x ≥ 0 (брусок 2 целиком переходит на доску) — в версии 5114 x ≈ 24,3 см > 0.

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Закон сохранения импульса
Неупругий удар
Работа переменной силы
Сила трения скольжения

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии · Относительное движение

Задать вопрос по задаче →