Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрическую цепь, схема которой представлена на рисунке, подключён нелинейный элемент, вольт-амперная характеристика которого $U = \alpha I^2$ где $\alpha = 1$ В/А $^2$ ЭДС источника и его внутреннее сопротивление равны соответственно $24$ В и $0{,}5$ Ом, $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 3$ Ом, $C = 100$ мкФ. Ключ длительное время замкнут.

Найдите количество теплоты, выделившейся на резисторе $R_1$ после размыкания ключа. Ответ приведите в [мДж] с округлением до сотых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Пока ключ замкнут, через конденсатор ток не идёт — он просто заряжен до напряжения на параллельных резисторах. После размыкания он разряжается через $R_1$ и $R_2$ Как разделится его энергия между ними? В модели разомкни ключ и сравни полоски теплоты.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРазомкнуть ключ

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Разомкнуть ключ

Разомкни ключ и посмотри, как энергия конденсатора делится между R₁ и R₂.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. ℰ = Ir + αI² + IR_п; U = IR_п; Q₁ = (CU²/2)·R₂/(R₁ + R₂).

Подсказка 1

При замкнутом ключе: $\mathcal E = Ir + \alpha I^2 + IR_п$ , где $R_п = \dfrac{R_1R_2}{R_1 + R_2} = 1{,}2$ Ом. Это квадратное уравнение для тока. Напряжение на конденсаторе $U = IR_п$

Подсказка 2

После размыкания на $R_1$ и $R_2$ всё время одно и то же напряжение, а мощность $\dfrac{U^2}{R}$ — значит, теплоты делятся обратно сопротивлениям: $Q_1 = \dfrac{CU^2}{2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}$ .

Разобрать решение по шагам

Ток при замкнутом ключе

Через конденсатор постоянный ток не идёт. Ток $I$ из источника проходит через нелинейный элемент и делится между $R_1$ и $R_2$ их общее сопротивление $R_п = \dfrac{2\cdot3}{5} = 1{,}2$ Ом. Закон Ома для полной цепи:

\mathcal E = Ir + \alpha I^2 + IR_п\quad\Rightarrow\quad I^2 + 1{,}7I - 24 = 0.

Положительный корень: $I = \dfrac{-1{,}7 + \sqrt{1{,}7^2 + 96}}{2}\approx4{,}122$ А.

Энергия конденсатора

Конденсатор подключён параллельно $R_1$ и $R_2$ напряжение на нём

U = IR_п\approx4{,}122\cdot1{,}2\approx4{,}947\ \text{В},\qquad W = \frac{CU^2}{2} = \frac{10^{-4}\cdot4{,}947^2}{2}\approx1{,}223\ \text{мДж}.

Как делится теплота

После размыкания источник и нелинейный элемент отключены. Конденсатор разряжается через $R_1$ и $R_2$ включённые параллельно: в каждый момент напряжение на них одинаковое, а мощности $\dfrac{U^2}{R_1}$ и $\dfrac{U^2}{R_2}$ Отношение теплот всё время одно и то же:

\frac{Q_1}{Q_2} = \frac{R_2}{R_1},\qquad Q_1 + Q_2 = W.

Поэтому

Q_1 = W\cdot\frac{R_2}{R_1 + R_2} = 1{,}223\cdot\frac35\approx0{,}734\ \text{мДж}\approx0{,}73\ \text{мДж}.

Проверка

Проверка численным расчётом: ток найден делением отрезка пополам, затем разряд $U' = -\dfrac{U}{CR_п}$ проинтегрирован по шагам с суммированием $\dfrac{U^2}{R_1}dt$ — получилось $0{,}7341$ мДж. Проверка уравнения: $0{,}5\cdot4{,}122 + 4{,}122^2 + 1{,}2\cdot4{,}122 = 2{,}06 + 16{,}99 + 4{,}95 = 24{,}0$ В.

Ответ

$Q_1 = \dfrac{C(IR_п)^2}{2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\approx0{,}73$ мДж.

Ответ

$Q_1 = \dfrac{C(IR_п)^2}{2}\cdot\dfrac{R_2}{R_1 + R_2}\approx0{,}73$ мДж.

Главная идея

Нелинейный элемент влияет только на установившийся ток. После размыкания энергия конденсатора делится между параллельными резисторами обратно их сопротивлениям.

Конденсатор разряжается через несколько параллельных резисторов: теплоты пропорциональны проводимостям 1/R.

Где легко ошибиться

Разделить энергию пропорционально сопротивлениям ( $Q_1 = W\cdot\frac{R_1}{R_1 + R_2}$ ) — так было бы при последовательном соединении. Или забыть внутреннее сопротивление и элемент при расчёте тока.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 4932 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4933, 4934, 4935) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 23) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: I = −(R_Э + r)/(2α) + √[((R_Э + r)/(2α))² + ε/α], R_Э = R₁R₂/(R₁ + R₂); U_C = I·R_Э; Q₀ = CU_C²/2 = Q₁ + Q₂; Q₁/Q₂ = R₂/R₁; Q₁ = Q₀/(1 + R₁/R₂)).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Нужна школьная база

Закон Ома для полной цепи
Энергия конденсатора
Параллельное соединение и мощность U²/R
Квадратное уравнение

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Узлы и эквивалентная цепь

Задать вопрос по задаче →