Физика · 11 класс · Физтех 2025/26 · второй тур

Задача 10. Рамка падает в неоднородном поле

Условие

Квадратная проволочная рамка с длиной стороны a=50a = 50 см движется поступательно в вертикальной плоскости с установившейся скоростью в области магнитного поля под действием силы тяжести (см. рис.). Масса рамки 1010 г, сопротивление рамки 0,030{,}03 Ом. Линии индукции магнитного поля направлены горизонтально и перпендикулярны плоскости рамки. Индукция магнитного поля зависит от вертикальной координаты zz по закону B=B0+αzB = B_0 + \alpha z, где B0B_0 и α\alpha — постоянные, ось zz направлена вертикально вниз. Значение B0B_0 не задано, α=0,3\alpha = 0{,}3 [Тл/м].

Найдите мощность тепловыделения в рамке. Ускорение свободного падения 1010 м/с2^2. Ответ приведите в [мВт] с округлением до целого числа. Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой.

B→g→Oz
Рисунок к условию
О задаче · 11 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс
Физика · 11 класс
Сезон
2025/26

Рамка падает, магнитный поток через неё меняется — в ней течёт ток. Скорость установилась, значит, магнитные силы уравновесили тяжесть. Но B0B_0 не дано. Как найти мощность без него? В модели поменяй B0B_0 и посмотри на график скорости.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОтпусти рамку

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Отпусти рамку

Отпусти рамку и поменяй B₀: зависит ли от него установившаяся скорость?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. ℰ = αa²v, сила F = Iαa², при установившейся скорости mg = Iαa², P = I²R = (mg/(αa²))²R.

Подсказка 1

Поток через рамку Φ=a2Bцентра\Phi = a^2B_{\text{центра}}, а поле в центре растёт со скоростью αv\alpha v. Значит, ЭДС E=αa2v\mathcal E = \alpha a^2v — без B0B_0. На вертикальные стороны силы Ампера взаимно гасятся.

Подсказка 2

На верхнюю и нижнюю стороны действуют силы IaBIaB с разными BB; их равнодействующая Ia⋅αa=Iαa2Ia\cdot\alpha a = I\alpha a^2 направлена вверх. При установившейся скорости mg=Iαa2mg = I\alpha a^2, а мощность P=I2RP = I^2R.

Разобрать решение по шагам
1

ЭДС не зависит от B0B_0

Поле линейно по zz, поэтому поток через квадрат равен площади, умноженной на поле в центре: Φ=a2(B0+αzц)\Phi = a^2\bigl(B_0 + \alpha z_ц\bigr). Рамка опускается со скоростью vv, так что

E=∣dΦdt∣=αa2v,I=αa2vR.\mathcal E = \left|\frac{d\Phi}{dt}\right| = \alpha a^2v,\qquad I = \frac{\alpha a^2v}{R}.

B0B_0 даёт постоянную часть потока и в ЭДС не входит.

2

Силы на стороны рамки

Ток в вертикальных сторонах течёт навстречу, а поле на одной высоте одинаково — силы на них равны и противоположны. Ток в горизонтальных сторонах тоже противоположный, а поле внизу больше на αa\alpha a. Поэтому силы на нижнюю и верхнюю стороны не уравновешены:

F=IaBниз−IaBверх=Ia⋅αa=Iαa2.F = IaB_{\text{низ}} - IaB_{\text{верх}} = Ia\cdot\alpha a = I\alpha a^2.

По правилу Ленца она тормозит падение, то есть направлена вверх.

3

Установившаяся скорость и мощность

Скорость постоянна, значит, F=mgF = mg:

I=mgαa2=0,01⋅100,3⋅0,25=43 А.I = \frac{mg}{\alpha a^2} = \frac{0{,}01\cdot10}{0{,}3\cdot0{,}25} = \frac43\ \text{А}.

Мощность тепловыделения

P=I2R=(mgαa2)2R=169⋅0,03≈0,0533 Вт≈53 мВт.P = I^2R = \left(\frac{mg}{\alpha a^2}\right)^2R = \frac{16}{9}\cdot0{,}03\approx0{,}0533\ \text{Вт}\approx53\ \text{мВт}.

Ток и мощность не зависят от B0B_0 — поэтому его и не задали.

Проверка

Проверка энергией: скорость v=IRαa2=4/3⋅0,030,075=0,533v = \dfrac{IR}{\alpha a^2} = \dfrac{4/3\cdot0{,}03}{0{,}075} = 0{,}533 м/с, мощность силы тяжести mgv=0,1⋅0,533=0,0533mgv = 0{,}1\cdot0{,}533 = 0{,}0533 Вт — совпадает с I2RI^2R: при постоянной скорости вся убыль потенциальной энергии идёт в тепло. Численно: рамку отпускали из покоя при разных B0B_0 и интегрировали движение с ЭДС, найденной по изменению потока, до установления скорости — мощность 53,353{,}3 мВт.

Ответ

P=(mgαa2)2R≈53P = \left(\dfrac{mg}{\alpha a^2}\right)^2R\approx53 мВт.

Ответ

P=(mgαa2)2R≈53P = \left(\dfrac{mg}{\alpha a^2}\right)^2R\approx53 мВт.

Главная идея

В линейно меняющемся поле и ЭДС, и результирующая сила Ампера определяются только разностью полей αa, а не самим полем. Из mg = Iαa² находится ток, из него мощность.

Рамка движется в неоднородном поле, B₀ не задан: работает только перепад поля по рамке.

Где легко ошибиться

Считать, что без B0B_0 задачу не решить, или брать силу Ампера на одну сторону (IaBIaB) вместо разности сил на верхней и нижней сторонах.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 10, версия с ID 4936 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4937, 4938, 4939) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 27) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: Φ = αa²z + B₀a² + αa³/2; I = αa²V/R; V₀ = mgR/(α²a⁴); I₀ = mg/(αa²); N = I₀²R = m²g²R/(α²a⁴)).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →
Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

  • Закон электромагнитной индукции
  • Сила Ампера
  • Правило Ленца
  • Мощность тока I²R

Приёмы решения: Уравнение сил · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок