Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Гладкий жёлоб в форме полуокружности радиуса $25$ см поступательно движется вертикально вверх с ускорением $0{,}5$ м/с $^2$ Небольшая шайба соскальзывает в жёлоб из точки А. Начальная скорость шайбы относительно жёлоба равна нулю.

Найдите модуль скорости шайбы относительно жёлоба в точке С. Ускорение свободного падения $10$ м/с $^2$ Шайба движется в вертикальной плоскости. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Удобнее всего смотреть на шайбу из жёлоба: в этой системе она стартует из покоя. Но эта система движется с ускорением. Что тогда добавляется к силе тяжести? В модели сравни покоящийся и разгоняющийся жёлоб.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШайба в жёлобе

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шайба в жёлобе

Сравни спуск шайбы в покоящемся и в разгоняющемся вверх жёлобе.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. В системе жёлоба добавь силу инерции ma вниз: g → g + a, v = √(2(g + a)R).

Подсказка 1

В системе отсчёта жёлоба на шайбу кроме силы тяжести действует сила инерции $-m\vec a$ направленная вниз (жёлоб ускоряется вверх). Вместе они дают «эффективную силу тяжести» $m(g+a)$

Подсказка 2

Жёлоб гладкий, сила реакции перпендикулярна движению относительно жёлоба и работы не совершает. Закон сохранения энергии с $g+a$ вместо $g$ $\dfrac{v^2}{2} = (g+a)R$

Разобрать решение по шагам

Переходим в систему жёлоба

Жёлоб движется поступательно с ускорением $a$ вверх. В его системе отсчёта на шайбу действуют:

сила тяжести $mg$ вниз;
сила инерции $ma$ — тоже вниз (против ускорения системы);
сила реакции жёлоба — перпендикулярно его поверхности.

Первые две вместе — как сила тяжести в мире, где ускорение свободного падения равно $g + a = 10{,}5$ м/с $^2$

Энергия в системе жёлоба

В системе жёлоба шайба скользит по неподвижной гладкой поверхности: сила реакции перпендикулярна скорости и работы не совершает. Работа «эффективной силы тяжести» на спуске от $A$ до $C$ (высота $R$ ) равна $m(g+a)R$ Начальная скорость относительно жёлоба нулевая, поэтому

\frac{mv^2}{2} = m(g+a)R.

Скорость в точке C

v = \sqrt{2(g+a)R} = \sqrt{2\cdot10{,}5\cdot0{,}25} = \sqrt{5{,}25}\approx2{,}29\ \text{м/с}.

С округлением до десятых: $2{,}3$ м/с. В покоящемся жёлобе было бы $\sqrt{2gR}\approx2{,}24$ м/с — чуть меньше.

Проверка

Проверка в неподвижной системе: шайба — свободное тело с силой тяжести, стенка жёлоба — очень жёсткая пружина вокруг движущегося центра. Численный расчёт такой модели даёт скорость относительно жёлоба у дна $\approx2{,}29$ м/с (тест в пакете). Предельный случай $a = 0$ даёт привычное $\sqrt{2gR}$

Ответ

$v = \sqrt{2(g+a)R}\approx2{,}3$ м/с.

Ответ

$v = \sqrt{2(g+a)R}\approx2{,}3$ м/с.

Главная идея

В системе отсчёта, движущейся поступательно с ускорением a, к силе тяжести добавляется сила инерции −ma. При ускорении вверх это то же, что увеличить g до g + a.

Тело движется по опоре, которая сама ускоряется поступательно, а спрашивают скорость относительно опоры: перейди в систему опоры и замени g на g ∓ a.

Где легко ошибиться

Применить закон сохранения энергии в неподвижной системе с $g$ там сила реакции движущегося жёлоба совершает работу, и ответ $\sqrt{2gR}$ неверен. Ещё ошибка — взять $g - a$ при ускорении вверх «вес» растёт.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 4900 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4901, 4902, 4903) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: m(a⃗ + a⃗_отн) = mg⃗ + N⃗ ⇒ m·a⃗_отн = m(g⃗ − a⃗) + N⃗; |g⃗ − a⃗| = g + a; V = √(2(g + a)R)).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Неинерциальная система отсчёта, сила инерции
Закон сохранения энергии
Работа силы реакции гладкой опоры

Приёмы решения: Относительное движение · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →