Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс $1 - 2 - 3 - 1$ На рисунке представлена зависимость $y = P/P_0$ от $x = V/V_0$ здесь $P$ и $V$ — давление и объём газа, $P_0$ и $V_0$ — некоторые давление и объём газа. Координаты состояний $1$ $3$ процесса: $x_1 = 2{,}5$ $x_3 = 6$ Зависимость $y(x)$ в процессе $2 - 3$ — дуга окружности с центром в начале координат и радиусом $6{,}5$

Найдите КПД цикла. Ответ приведите в % с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

КПД — работа за цикл, делённая на полученную газом теплоту. Работа — площадь цикла. А вот где газ получает теплоту? На изохоре и изобаре это ясно, а на дуге газ сначала нагревается, потом остывает. В модели раскрась цикл по знаку теплоты.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГде газ получает теплоту

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Где газ получает теплоту

На каких участках цикла газ получает теплоту? Чему равен КПД?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. На дуге dQ = (2,5y² − 1,5x²)/y·dx: теплота поступает, пока y/x > √0,6. Q⁺ = Q₁₂ + Q₂*, η = W/Q⁺.

Подсказка 1

На маленьком участке дуги $dQ = dU + P\,dV = \frac32 d(xy) + y\,dx$ (в единицах $P_0V_0$ ). На окружности $x\,dx + y\,dy = 0$ Подставь $dy = -\frac{x}{y}dx$

Подсказка 2

Получится $dQ = \dfrac{2{,}5y^2 - 1{,}5x^2}{y}\,dx$ . При движении $2\to3$ ( $dx > 0$ ) теплота поступает, пока $\dfrac{y}{x} > \sqrt{0{,}6}$ . Найди эту точку на дуге и посчитай теплоту от $2$ до неё: $\Delta U$ плюс площадь под дугой.

Разобрать решение по шагам

Вершины и работа за цикл

Как в задаче 4: $1 = (2{,}5;\ 2{,}5)$ $2 = (2{,}5;\ 6)$ $3 = (6;\ 2{,}5)$ радиус $\rho = 6{,}5$ Всё считаем в единицах $P_0V_0$

Работа за цикл — площадь фигуры: площадь под дугой от $x_1$ до $x_3$ минус прямоугольник под изобарой:

W = \int_{2{,}5}^{6}\sqrt{\rho^2 - x^2}\,dx - 2{,}5\cdot3{,}5.

Первообразная $\dfrac12\left(x\sqrt{\rho^2 - x^2} + \rho^2\arcsin\dfrac{x}{\rho}\right)$ даёт $\int\approx16{,}503$ и $W\approx16{,}503 - 8{,}75 = 7{,}753$ .

Где газ получает теплоту

$1\to2$ изохора, давление растёт: газ нагревается, $Q_{12} = \frac32 x_1(y_2 - y_1) = \frac32\cdot2{,}5\cdot3{,}5 = 13{,}125 > 0$ .
$3\to1$ изобара, сжатие: газ остывает и отдаёт теплоту.
$2\to3$ дуга. На малом участке $dQ = \frac32 d(xy) + y\,dx$ , а на окружности $dy = -\frac{x}{y}dx$ поэтому

dQ = \frac{2{,}5y^2 - 1{,}5x^2}{y}\,dx.

На дуге $x$ растёт ( $dx > 0$ ), значит, газ получает теплоту, пока $\dfrac{y}{x} > \sqrt{0{,}6}\approx0{,}775$ , и отдаёт после. Точка смены знака: $x_* = \dfrac{\rho}{\sqrt{1{,}6}}\approx5{,}139$ , $y_*\approx3{,}980$ Она лежит между $2$ и $3$

Полученная теплота

На участке дуги от $2$ до точки смены знака:

Q_{2*} = \frac32\left(x_*y_* - x_1y_2\right) + \int_{2{,}5}^{x_*}\sqrt{\rho^2 - x^2}\,dx \approx \frac32(20{,}454 - 15) + 13{,}648 \approx 21{,}829.

Вся полученная теплота: $Q^+ = 13{,}125 + 21{,}829 \approx 34{,}954$ .

КПД

\eta = \frac{W}{Q^+} = \frac{7{,}753}{34{,}954}\approx0{,}222 = 22\ \%.

Проверка

Независимая проверка: цикл пройден численно по $600\,000$ малым шагам, на каждом $dQ = \frac32 d(xy) + y\,dx$ , сложены только положительные $dQ$ — получилось то же $\eta\approx22{,}18\ \%$ Если ошибочно считать, что вся дуга $2\to3$ даёт теплоту, или что она вся отдаёт, получаются другие числа ( $\eta\approx26\ \%$ или $\approx59\ \%$ ) — поэтому точка смены знака здесь главное.

Ответ

$\eta = \dfrac{W}{Q_{12} + Q_{2*}}\approx\dfrac{7{,}75}{34{,}95}\approx22\ \%$ .

Ответ

$\eta = \dfrac{W}{Q_{12} + Q_{2*}}\approx\dfrac{7{,}75}{34{,}95}\approx22\ \%$ .

Главная идея

Для КПД нужна только полученная теплота. На криволинейном участке знак теплоты может меняться — точку смены находят из dQ = dU + P dV, записанного вдоль кривой.

Цикл с криволинейным участком, на котором температура сначала растёт, а потом падает: проверь, где на нём dQ меняет знак.

Где легко ошибиться

Считать теплоту на дуге целиком как $\Delta U_{23} + W_{23}$ на дуге газ сначала получает, а потом отдаёт теплоту, и складывать их нельзя.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 4920 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4921, 4922, 4923) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: x_C = √(5/8)·r (точка касания адиабаты на дуге y = √(r² − x²)); C/R = 3/2 + 1/(1 + (x/y)(dy/dx)), C = 0 в точке C; η = A_ц/Q_н; Q_н = ΔU_1C + A_2C; ΔU_1C ~ (3/2)(y_C·x_C − y₁·x₁); A_2C — площадь под участком 2–C дуги).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Продвинутая подготовка

Первый закон термодинамики
Внутренняя энергия одноатомного газа
Площадь под кривой (интеграл)
Уравнение окружности

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Тепловой баланс по состояниям · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →