Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный цилиндрический сосуд разделён на две части лёгким подвижным поршнем, который может скользить внутри сосуда без трения. В каждой части сосуда находится $2$ моль аргона при температуре $300$ К. Одну часть сосуда квазистатически нагревают, а в другой температуру поддерживают постоянной, равной начальной. При этом давление в сосуде возрастает в $3$ раза.

Найдите приращение внутренней энергии содержимого сосуда. Универсальная газовая постоянная $R = 8{,}31$ Дж/(моль·К). Теплопроводностью и теплоёмкостью поршня пренебрегите. Объём поршня мал по сравнению с объёмом сосуда. Ответ приведите в [кДж] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Поршень лёгкий — давление в обеих частях одинаковое. Внутренняя энергия холодной части не меняется (температура та же). Значит, нужна только конечная температура нагретой части. В модели поднимай давление и смотри на объёмы.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНагреть одну часть

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Нагреть одну часть

Поднимай давление и следи за поршнем. Энергия какой части меняется?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Холодная часть: V = V0/k; нагретая: V = 2V0 − V0/k, T = (2k − 1)T0; ΔU = (3/2)νR(T − T0).

Подсказка 1

Холодная часть: температура постоянна, давление выросло в $3$ раза — объём уменьшился в $3$ раза: $V_х = \dfrac{V_0}{3}$ Объём сосуда $2V_0$ не меняется.

Подсказка 2

Горячая часть: $V_г = 2V_0 - \dfrac{V_0}{3} = \dfrac53V_0$ , давление $3p_0$ Из $pV = \nu RT$ $T_г = T_0\cdot3\cdot\dfrac53 = 5T_0$ . Аргон одноатомный: $\Delta U = \frac32\nu R\,\Delta T$ .

Разобрать решение по шагам

Что происходит с холодной частью

Поршень лёгкий и скользит без трения, поэтому давления по обе стороны равны. В начале обе части одинаковые: $\nu$ моль при $T_0$ давление $p_0$ объём $V_0$ каждая.

В холодной части температура постоянна, давление выросло в $k = 3$ раза, значит, объём уменьшился в $3$ раза:

V_х = \frac{V_0}{k}.

Её внутренняя энергия не изменилась — температура та же.

Температура нагретой части

Сосуд герметичный, общий объём $2V_0$

V_г = 2V_0 - \frac{V_0}{k} = \frac{2k - 1}{k}V_0.

Уравнение состояния для нагретой части в конце: $kp_0\cdot\dfrac{2k-1}{k}V_0 = \nu RT_г$ , а $p_0V_0 = \nu RT_0$ Значит,

T_г = (2k - 1)\,T_0 = 5\cdot300 = 1500\ \text{К}.

Приращение внутренней энергии

Аргон одноатомный, $U = \frac32\nu RT$ Меняется только энергия нагретой части:

\Delta U = \frac32\nu R\,(T_г - T_0) = \frac32\cdot2\cdot8{,}31\cdot1200 = 29\,916\ \text{Дж}\approx29{,}9\ \text{кДж}.

В общем виде $\Delta U = 3\nu RT_0(k - 1)$ .

Проверка

Проверка на числах: пусть $V_0 = 10$ л. Тогда $p_0 = \dfrac{2\cdot8{,}31\cdot300}{0{,}01}\approx498{,}6$ кПа; в конце $p = 1495{,}8$ кПа, холодная часть $3{,}33$ л, горячая $16{,}67$ л, $T_г = \dfrac{1495{,}8\cdot10^3\cdot0{,}01667}{2\cdot8{,}31} = 1500$ К. Внутренняя энергия: было $2\cdot\frac32\cdot2\cdot8{,}31\cdot300 = 14{,}96$ кДж, стало $\frac32\cdot2\cdot8{,}31\cdot(300 + 1500) = 44{,}87$ кДж; разница $29{,}9$ кДж.

Ответ

$\Delta U = 3\nu RT_0(k - 1)\approx29{,}9$ кДж.

Ответ

$\Delta U = 3\nu RT_0(k - 1)\approx29{,}9$ кДж.

Главная идея

Лёгкий поршень уравнивает давления, общий объём неизменен. Изотермическая часть даёт свой объём, остальной объём достаётся нагретой части — отсюда её температура.

Сосуд с подвижной перегородкой и разными процессами в частях: равенство давлений + постоянный общий объём.

Где легко ошибиться

Считать, что внутренняя энергия холодной части тоже меняется (она сжимается, но температура постоянна). Или забыть, что общий объём сохраняется, и считать нагрев изобарным или изохорным.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 4916 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4917, 4918, 4919) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 11) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: ΔU = 3νRT₀(n − 1), n = P/P₀).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Уравнение Менделеева–Клапейрона
Изотермический процесс
Внутренняя энергия одноатомного газа

Приёмы решения: Баланс сохраняемой величины · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →