Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Шарик, закреплённый на лёгкой нити, движется по окружности в вертикальной плоскости в однородном поле тяжести. Наибольшая и наименьшая силы натяжения нити отличаются в $49$ раз.

Во сколько раз сила натяжения нити в тот момент, когда нить находится в горизонтальной плоскости, меньше наибольшей силы натяжения нити? Ответ приведите с точностью до сотых. Силу сопротивления воздуха и изменение длины нити в процессе движения считайте пренебрежимо малыми.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Где натяжение наибольшее, а где наименьшее? Скорость шарика на окружности меняется — свяжи скорости в верхней, нижней и боковой точках законом сохранения энергии. В модели подбери движение, у которого отношение натяжений равно $49$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНить на окружности

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Нить на окружности

Подбери движение с нужным отношением натяжений и посмотри на натяжение при горизонтальной нити.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. T_низ = T_верх + 6mg, T_бок = T_верх + 3mg; из T_низ = k·T_верх найди T_верх.

Подсказка 1

Наибольшее натяжение — внизу, наименьшее — вверху. По второму закону Ньютона $T_н = \dfrac{mv_н^2}{L} + mg$ , $T_в = \dfrac{mv_в^2}{L} - mg$ , а в горизонтальном положении $T_г = \dfrac{mv_г^2}{L}$ (сила тяжести направлена поперёк нити).

Подсказка 2

Энергия: $v_н^2 = v_в^2 + 4gL$ $v_г^2 = v_в^2 + 2gL$ Тогда $T_н = T_в + 6mg$ и $T_г = T_в + 3mg$ Из $T_н = 49\,T_в$ найди $T_в$

Разобрать решение по шагам

Натяжение в трёх точках

Пусть длина нити $L$ В каждой точке равнодействующая сил вдоль нити создаёт центростремительное ускорение $\dfrac{v^2}{L}$

внизу сила тяжести направлена от центра: $T_н - mg = \dfrac{mv_н^2}{L}$ ;
вверху — к центру: $T_в + mg = \dfrac{mv_в^2}{L}$ ;
когда нить горизонтальна, сила тяжести перпендикулярна нити: $T_г = \dfrac{mv_г^2}{L}$

Скорости из закона сохранения энергии

Нить работы не совершает (она перпендикулярна скорости), сопротивления нет. Нижняя точка на $2L$ ниже верхней, боковая — на $L$

v_н^2 = v_в^2 + 4gL,\qquad v_г^2 = v_в^2 + 2gL.

Подставим в выражения для натяжений:

T_н = T_в + 6mg,\qquad T_г = T_в + 3mg.

Разница натяжений внизу и вверху всегда $6mg$ — при любой скорости.

Натяжение вверху

Натяжение внизу наибольшее, вверху — наименьшее (между ними оно меняется монотонно). По условию $T_н = 49\,T_в$

T_в + 6mg = 49\,T_в\quad\Rightarrow\quad T_в = \frac{6mg}{48} = \frac{mg}{8}.

Искомое отношение

\frac{T_н}{T_г} = \frac{T_в + 6mg}{T_в + 3mg} = \frac{\frac18 + 6}{\frac18 + 3} = \frac{49}{25} = 1{,}96.

В общем виде при $T_{\max}/T_{\min} = k$ $T_в = \dfrac{6mg}{k-1}$ и

\frac{T_{\max}}{T_г} = \frac{2k}{k+1}.

Проверка

Проверка численным расчётом: движение шарика по окружности проинтегрировано по шагам, натяжение посчитано в каждой точке; отношение наибольшего к наименьшему $49{,}0$ наибольшего к горизонтальному — $1{,}96$ Предельные случаи формулы $\dfrac{2k}{k+1}$ при $k\to1$ (очень быстрое вращение, тяжесть почти не важна) отношение $\to1$ при $k\to\infty$ (шарик едва проходит верх) — $\to2$

Ответ

$\dfrac{T_{\max}}{T_г} = \dfrac{2k}{k+1} = \dfrac{98}{50} = 1{,}96$ .

Ответ

$\dfrac{T_{\max}}{T_г} = \dfrac{2k}{k+1} = \dfrac{98}{50} = 1{,}96$ .

Главная идея

На вертикальной окружности натяжения в разных точках отличаются на величины, кратные mg, независимо от скорости: T_низ − T_верх = 6mg, T_бок − T_верх = 3mg.

Груз на нити по вертикальной окружности и отношения натяжений: запиши второй закон в нужных точках и свяжи скорости энергией.

Где легко ошибиться

Считать натяжение в горизонтальном положении средним между наибольшим и наименьшим или забыть, что там сила тяжести не направлена вдоль нити.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 4904 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4905, 4906, 4907) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: T_н − T_в = 6mg; T_н − T_г = 3mg; T_н/T_в = α ⇒ T_н/T_г = 2α/(α + 1)).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Центростремительное ускорение
Второй закон Ньютона
Закон сохранения энергии

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →