Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Экспериментатор разместил три одинаковых металлических шарика радиуса $5$ мм на изолирующих подставках так, что они оказались в вершинах правильного треугольника со стороной $30$ см. Каждый шарик несёт на себе заряд $0{,}1$ мкКл. Шарики поочерёдно однократно заземляют и отключают от заземления. При заземлении каждого шарика и последующем отключении от заземления два остальных шарика не заземлены.

Найдите модуль разности потенциала шарика, который был заземлён первым, и потенциала шарика, который был заземлён вторым, после поочерёдного заземления всех шариков. Ответ приведите в [В] с округлением до целого числа. $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 9\cdot10^9$ м/Ф. Поляризационными эффектами от изолирующих подставок и разрядкой шариков за счёт ионизации воздуха пренебрегите.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Заземлённый шарик получает такой заряд, при котором его потенциал равен нулю, — но заряды соседей тоже создают у него потенциал. Поэтому после заземления на шарике остаётся небольшой заряд противоположного знака. В модели заземляй шарики по очереди и следи за зарядами.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЗаземлять по очереди

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Заземлять по очереди

Заземли шарики 1, 2, 3 по очереди. Какие заряды на них остались? Чему равна разность потенциалов первых двух?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Заземление: q_i = −(r/d)·(сумма зарядов двух других). Затем φ1 − φ2 = k(q1 − q2)(1/r − 1/d).

Подсказка 1

Потенциал шарика $i$ $\varphi_i = k\left(\dfrac{q_i}{r} + \dfrac{\sum_{j\ne i}q_j}{d}\right)$ . Заземление: $\varphi_i = 0$ откуда $q_i = -\dfrac{r}{d}\sum_{j\ne i}q_j$ . Обозначь $\beta = \dfrac{r}{d}$ и найди по очереди $q_1$ $q_2$ $q_3$

Подсказка 2

$q_1 = -2\beta q$ $q_2 = -\beta(q_1 + q) = -\beta q(1 - 2\beta)$ . Разность потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2 = k(q_1 - q_2)\left(\dfrac1r - \dfrac1d\right)$ — заряд $q_3$ в неё не входит.

Разобрать решение по шагам

Потенциал шарика

Шарики маленькие: $r = 5$ мм, $d = 30$ см, $\beta = \dfrac{r}{d} = \dfrac1{60}$ . Потенциал шарика складывается из потенциала его собственного заряда и потенциалов двух других, которые далеко и действуют как точечные заряды:

\varphi_i = k\left(\frac{q_i}{r} + \frac{q_j + q_l}{d}\right).

При заземлении потенциал шарика становится нулевым, а заряды остальных не меняются:

q_i = -\beta\,(q_j + q_l).

Заряды после каждого заземления

Начинали с $q$ на каждом ( $q = 0{,}1$ мкКл $= 100$ нКл).

Заземлили первый: $q_1 = -\beta(q + q) = -2\beta q\approx-3{,}333$ нКл.
Второй: $q_2 = -\beta(q_1 + q) = -\beta q(1 - 2\beta)\approx-1{,}611$ нКл.
Третий: $q_3 = -\beta(q_1 + q_2) = \beta^2q(3 - 2\beta)\approx+0{,}082$ нКл.

Разность потенциалов первых двух

Вычтем выражения для потенциалов — заряд $q_3$ входит в оба одинаково и сокращается:

\varphi_1 - \varphi_2 = k\left(\frac{q_1 - q_2}{r} + \frac{q_2 - q_1}{d}\right) = k\,(q_1 - q_2)\left(\frac1r - \frac1d\right).

$q_1 - q_2 = -\beta q(1 + 2\beta)$ , и $\beta\left(\dfrac1r - \dfrac1d\right) = \dfrac{1 - \beta}{d}$ :

|\varphi_1 - \varphi_2| = \frac{kq}{d}\,(1 + 2\beta)(1 - \beta).

Числа

$\dfrac{kq}{d} = \dfrac{9\cdot10^9\cdot10^{-7}}{0{,}3} = 3000$ В, $(1 + 2\beta)(1 - \beta) = \dfrac{31}{30}\cdot\dfrac{59}{60}\approx1{,}01611$ .

|\varphi_1 - \varphi_2|\approx3048{,}3\ \text{В}\approx3048\ \text{В}.

Сами потенциалы: $\varphi_1\approx-6046$ В, $\varphi_2\approx-2998$ В (у третьего — ноль).

Проверка

Проверка без приближения точечных зарядов: ёмкостные коэффициенты трёх проводящих шаров найдены методом изображений (девять поколений изображений), затем та же последовательность заземлений. Результат отличается от формулы меньше чем на $0{,}02$ В во всех версиях. Это важно для версии $4925$ там формула даёт $4565{,}475$ В — близко к границе округления, но точный расчёт тоже округляется до $4565$

Ответ

$|\varphi_1 - \varphi_2| = \dfrac{kq}{d}(1 + 2\beta)(1 - \beta)\approx3048$ В, $\beta = r/d$

Ответ

$|\varphi_1 - \varphi_2| = \dfrac{kq}{d}(1 + 2\beta)(1 - \beta)\approx3048$ В, $\beta = r/d$

Главная идея

Заземление обнуляет потенциал, а не заряд: на шарике остаётся заряд, компенсирующий потенциал соседей. Для малых шариков потенциал = собственный kq/r + чужие kq/d.

Несколько удалённых проводников заземляют по очереди: на каждом шаге условие φ = 0 для заземлённого, заряды остальных фиксированы.

Где легко ошибиться

Считать, что после заземления заряд шарика равен нулю — тогда $\varphi_1 - \varphi_2$ получится совсем другим. Или считать потенциал шарика только от собственного заряда.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 7, версия с ID 4924 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4925, 4926, 4927) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 16) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: |φ₁ − φ₂| = kq·(R − r)/R²·(1 + 2r/R)). Формула тождественна нашей при R = d (сторона треугольника) и r = радиус шарика, но в официальном тексте R и r не определены. Формула сохраняет член второго порядка по r/R: при первом порядке kq(1 + r/R)/R вышло бы 3050 В вместо 3048 В.

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Потенциал точечного заряда и шара
Принцип суперпозиции
Заземление: φ = 0

Приёмы решения: Инвариант или монотонная величина · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →