Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

С идеальным одноатомным газом совершают циклический процесс $1 - 2 - 3 - 1$ На рисунке представлена зависимость $y = P/P_0$ от $x = V/V_0$ здесь $P$ и $V$ — давление и объём газа, $P_0$ и $V_0$ — некоторые давление и объём газа. Координаты состояний $1$ $3$ процесса: $x_1 = 2{,}5$ $x_3 = 6$ Зависимость $y(x)$ в процессе $2 - 3$ — дуга окружности с центром в начале координат и радиусом $6{,}5$

Найдите отношение максимальной температуры газа в цикле к минимальной. Ответ приведите с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Температура идеального газа пропорциональна произведению $PV$ то есть $xy$ Где на цикле это произведение наименьшее и где наибольшее? В модели проведи точку по циклу и следи за изотермой через неё.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеОбойти цикл

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Обойти цикл

Где на цикле температура наименьшая и где наибольшая?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. T ∝ xy; минимум в точке 1, максимум на дуге при x = y, равный ρ²/2.

Подсказка 1

Найди координаты всех вершин: $3$ и $2$ лежат на окружности $x^2 + y^2 = 6{,}5^2$ а $1$ — на одной высоте с $3$ Минимум $xy$ — в вершине $1$

Подсказка 2

На дуге $x = \rho\cos\theta$ $y = \rho\sin\theta$ поэтому $xy = \dfrac{\rho^2}{2}\sin2\theta$ . Наибольшее значение $\dfrac{\rho^2}{2}$ — при $\theta = 45^\circ$ если эта точка лежит на дуге между $2$ и $3$

Разобрать решение по шагам

Температура через x и y

Для идеального газа $PV = \nu RT$ поэтому

T = \frac{PV}{\nu R} = \frac{P_0V_0}{\nu R}\cdot xy.

Отношение температур равно отношению произведений $xy$

Координаты вершин

Точка $3$ лежит на окружности радиуса $\rho = 6{,}5$ $y_3 = \sqrt{6{,}5^2 - 6^2} = \sqrt{6{,}25} = 2{,}5$ .

Точка $1$ на той же высоте: $(2{,}5;\ 2{,}5)$ Точка $2$ над ней на окружности: $y_2 = \sqrt{6{,}5^2 - 2{,}5^2} = \sqrt{36} = 6$ .

Наименьшая температура

На изохоре $1\to2$ давление растёт — $xy$ растёт. На изобаре $3\to1$ объём уменьшается — $xy$ убывает до точки $1$ На дуге $xy$ не меньше, чем в концах: $x_2y_2 = 15$ и $x_3y_3 = 15$ (почему — шаг 4). Поэтому минимум в точке $1$

(xy)_{\min} = 2{,}5\cdot2{,}5 = 6{,}25.

Наибольшая температура — на дуге

На дуге $x = \rho\cos\theta$ $y = \rho\sin\theta$

xy = \rho^2\sin\theta\cos\theta = \frac{\rho^2}{2}\sin2\theta.

Наибольшее значение $\dfrac{\rho^2}{2}$ — при $\theta = 45^\circ$ то есть в точке $x = y$ Дуга идёт от точки $2$ ( $\theta = \operatorname{arctg}\frac{6}{2{,}5}\approx67^\circ$ ) до точки $3$ ( $\theta\approx23^\circ$ ), так что $45^\circ$ на ней есть:

(xy)_{\max} = \frac{6{,}5^2}{2} = 21{,}125.

Геометрически: изотерма $xy = \text{const}$ — гипербола, и наибольшая из них, которая ещё касается дуги, касается её в точке $x = y$

Отношение

\frac{T_{\max}}{T_{\min}} = \frac{21{,}125}{6{,}25} = 3{,}38\approx3{,}4.

Проверка

Численный обход цикла по $600\,000$ точкам даёт наибольшее $xy = 21{,}125$ и наименьшее $6{,}25$ — то же отношение $3{,}38$ Для версии $4913$ точка $x = y$ тоже лежит на дуге (дуга от $53^\circ$ до $37^\circ$ ), формула применима во всех четырёх версиях.

Ответ

$\dfrac{T_{\max}}{T_{\min}} = \dfrac{\rho^2/2}{x_1y_3} = \dfrac{21{,}125}{6{,}25}\approx3{,}4$ .

Ответ

$\dfrac{T_{\max}}{T_{\min}} = \dfrac{\rho^2/2}{x_1y_3} = \dfrac{21{,}125}{6{,}25}\approx3{,}4$ .

Главная идея

Температура идеального газа пропорциональна PV. На дуге окружности с центром в начале координат произведение xy наибольшее при x = y, где дугу касается изотерма-гипербола.

Нужна наибольшая температура на криволинейном участке диаграммы PV: ищи точку касания с изотермой PV = const.

Где легко ошибиться

Считать, что наибольшая температура — в одной из вершин цикла ( $2$ или $3$ где $xy = 15$ ). На дуге между ними температура выше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 4, версия с ID 4912 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4913, 4914, 4915) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 8) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: T/T₀ = xy, x = r·cosα, y = r·sinα, T/T₀ = r²·sinα·cosα = (r²/2)·sin2α, (xy)_макс = r²/2; (xy)_мин = x₁√(r² − x₃²); T_МАКС/T_МИН = (xy)_макс/(xy)_мин = R²/(2x₁√(R² − x₃²))). Формулы совпадают. Заявленная прежним рецензентом ошибка «R вместо R²» на странице не подтверждается: в числителе итоговой формулы на изображении стоит R² (с R получилось бы 6,5/12,5 = 0,52 < 1, что невозможно для T_max/T_min). Есть только смешение обозначений (радиус дуги обозначен r в начале и R в итоговой формуле), и не оговорено, что точка x = y лежит на дуге 2–3 (во всех четырёх версиях лежит).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Начальный вход

Уравнение Менделеева–Клапейрона
Параметризация окружности
Наибольшее значение sin 2θ

Приёмы решения: Первый закон для цикла · Оценка и достижимость · Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →