Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

Герметичный плоский конденсатор с горизонтально расположенными квадратными обкладками частично заполнен жидким диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $2$ и подключён к источнику ЭДС (см. рис.). Толщина слоя диэлектрика составляет $20\ \%$ расстояния между обкладками. Конденсатор отключают от источника и поворачивают так, что обкладки располагаются вертикально.

Найдите отношение разности потенциалов обкладок конденсатора до поворота к разности потенциалов обкладок после поворота. Ответ приведите с округлением до десятых. Краевыми эффектами пренебрегите.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

После отключения от источника заряд на обкладках уже не меняется. Значит, отношение напряжений определяется отношением ёмкостей. Как расположены слои жидкости и воздуха относительно поля до и после поворота? В модели поверни конденсатор и сравни ёмкости.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПовернуть конденсатор

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Повернуть конденсатор

Поверни конденсатор и сравни ёмкость до и после. Во сколько раз изменилось напряжение?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. До поворота — последовательное соединение слоёв, после — параллельное; заряд тот же, U₁/U₂ = C₂/C₁.

Подсказка 1

До поворота слои лежат друг на друге поперёк поля — это два конденсатора, соединённые последовательно. После поворота жидкость и воздух стоят рядом вдоль обкладок — это два конденсатора, соединённые параллельно.

Подсказка 2

Пусть $C_0$ — ёмкость без жидкости, $f = 0{,}2$ До: $C_1 = \dfrac{C_0}{(1 - f) + f/\varepsilon}$ . После: $C_2 = C_0\left((1 - f) + f\varepsilon\right)$ . Заряд тот же: $\dfrac{U_1}{U_2} = \dfrac{C_2}{C_1}$ .

Разобрать решение по шагам

Заряд сохраняется

Конденсатор отключён от источника, поэтому заряд $q$ на обкладках при повороте не меняется. Напряжение $U = \dfrac{q}{C}$ значит,

\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1}.

До поворота: последовательное соединение

Пусть $d$ — расстояние между обкладками, $S$ — их площадь, $C_0 = \dfrac{\varepsilon_0S}{d}$ . Слой жидкости толщиной $fd$ и слой воздуха толщиной $(1 - f)d$ лежат друг на друге, поле проходит через оба — это последовательное соединение:

\frac{1}{C_1} = \frac{fd}{\varepsilon\varepsilon_0S} + \frac{(1 - f)d}{\varepsilon_0S}\quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{C_0}{(1 - f) + f/\varepsilon} = \frac{C_0}{0{,}8 + 0{,}1} = \frac{C_0}{0{,}9}.

После поворота: параллельное соединение

Обкладки вертикальны, жидкость стекла вниз. Объём жидкости $f\cdot d\cdot S$ ширина промежутка $d$ ширина обкладки $a$ (квадрат, $S = a^2$ ) — жидкость поднимается на $f\cdot a$ то есть занимает долю $f$ площади обкладок. Теперь жидкость и воздух стоят рядом, каждый от обкладки до обкладки — параллельное соединение:

C_2 = \varepsilon C_0f + C_0(1 - f) = C_0(0{,}8 + 0{,}4) = 1{,}2\,C_0.

Отношение напряжений

\frac{U_1}{U_2} = \frac{C_2}{C_1} = 1{,}2\cdot0{,}9 = 1{,}08\approx1{,}1.

В общем виде

\dfrac{U_1}{U_2} = \left((1 - f) + f\varepsilon\right)\left((1 - f) + \dfrac{f}{\varepsilon}\right)

. Это всегда не меньше $1$ по неравенству о средних параллельное соединение даёт ёмкость не меньше последовательного.

Проверка

Проверка суммированием: до поворота $\dfrac{1}{C_1}\propto\int_0^d\dfrac{dz}{\varepsilon(z)}$ , после поворота $C_2\propto\int_0^a\varepsilon(h)\,dh$ ; численное суммирование по $100\,000$ тонких слоёв даёт то же отношение $1{,}08$ При $\varepsilon = 1$ (жидкость как воздух) отношение $1$ при $f = 0$ или $f = 1$ — тоже $1$

Ответ

\dfrac{U_1}{U_2} = (0{,}8 + 0{,}2\cdot2)\left(0{,}8 + \dfrac{0{,}2}{2}\right) = 1{,}08\approx1{,}1

Ответ

\dfrac{U_1}{U_2} = (0{,}8 + 0{,}2\cdot2)\left(0{,}8 + \dfrac{0{,}2}{2}\right) = 1{,}08\approx1{,}1

Главная идея

Отключённый конденсатор сохраняет заряд, поэтому напряжения обратно пропорциональны ёмкостям. Слои поперёк поля — последовательное соединение, слои вдоль поля — параллельное.

Диэлектрик частично заполняет конденсатор: определи, как граница раздела расположена относительно поля, и собери ёмкость последовательно или параллельно.

Где легко ошибиться

Считать, что напряжение сохраняется (это было бы при подключённом источнике). Или перепутать: горизонтальный слой при горизонтальных обкладках — последовательное соединение, а не параллельное.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 8, версия с ID 4928 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4929, 4930, 4931) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 19) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: U/U′ = (1/ε)·(α/100% + ε(1 − α/100%))·(1 + (α/100%)(ε − 1)), α — толщина слоя в % от зазора).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Нужна школьная база

Ёмкость плоского конденсатора с диэлектриком
Последовательное и параллельное соединение конденсаторов
Сохранение заряда отключённого конденсатора

Приёмы решения: Разбор случаев · Инвариант или монотонная величина

Задать вопрос по задаче →