Физтех 2025/26 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

С клина, находящегося на гладкой горизонтальной плоскости (см. рис.), скатывается без проскальзывания полый шар. Ускорение центра масс шара $3{,}47$ м/с $^2$ Шар изготовлен из материала плотностью $1150$ кг/м $^3$ Радиус шара $10$ см, радиус полости $5$ см. Центры шара и полости совпадают. Клин упирается торцом в вертикальную стенку.

Найдите модуль силы, с которой клин действует на стенку. Угол при основании клина $30^\circ$ Ответ приведите в [Н] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2025/26

Клин не двигается: пол гладкий, а стена его держит. Какие тела толкают клин по горизонтали? Попробуй найти силу, не вычисляя ни силу трения, ни силу давления шара по отдельности. В модели проверь, что заданное ускорение согласуется с качением шара.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеШар на клине у стены

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Шар на клине у стены

Какие тела толкают клин по горизонтали? Найди силу, с которой клин давит на стену.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. По горизонтали на шар действует только клин: F = M·a·cosα, M = ρ·(4/3)π(R³ − r³).

Подсказка 1

По горизонтали на клин действуют только шар и стена (пол гладкий). Значит, сила стены равна горизонтальной составляющей силы, с которой шар давит на клин.

Подсказка 2

А на шар по горизонтали действует только клин (сила тяжести вертикальна). По второму закону Ньютона горизонтальная составляющая силы клина на шар равна $Ma\cos\alpha$ Масса шара: $M = \rho\cdot\frac43\pi(R^3 - r^3)$ .

Разобрать решение по шагам

Горизонтальные силы на клин

Клин покоится. По горизонтали на него действуют:

шар — через силу давления и силу трения покоя (шар катится без проскальзывания);
стена — горизонтально.

Пол гладкий, трения пола нет. Поэтому стена давит на клин с той же горизонтальной силой, с какой его толкает шар, а клин давит на стену с такой же силой (третий закон).

Горизонтальная сила между шаром и клином

На шар действуют сила тяжести (вертикальная) и сила со стороны клина (давление плюс трение). Ускорение шара $a$ направлено вдоль склона; его горизонтальная составляющая $a\cos\alpha$ По второму закону Ньютона по горизонтали

F_x = Ma\cos\alpha.

Клин толкает шар от стены, значит, шар толкает клин к стене с силой $Ma\cos\alpha$

Масса полого шара

M = \rho\cdot\frac43\pi\left(R^3 - r^3\right) = 1150\cdot\frac43\pi\cdot\left(0{,}1^3 - 0{,}05^3\right) = 1150\cdot4{,}189\cdot0{,}000875\approx4{,}215\ \text{кг}.

Сила на стену

F = Ma\cos\alpha = 4{,}215\cdot3{,}47\cdot\cos30^\circ\approx4{,}215\cdot3{,}47\cdot0{,}866\approx12{,}67\ \text{Н}.

С округлением до десятых: $12{,}7$ Н. Ни силу трения, ни момент инерции шара знать не понадобилось: всё это уже «спрятано» в заданном ускорении.

Проверка

Проверка ускорения: для толстостенной сферы $I = \frac25 M\dfrac{R^5 - r^5}{R^3 - r^3}$ , при $R = 10$ см, $r = 5$ см $\dfrac{I}{MR^2}\approx0{,}443$ , и качение даёт $a = \dfrac{g\sin\alpha}{1 + I/(MR^2)}\approx3{,}465$ м/с $^2$ — заданное $3{,}47$ согласуется с формой шара (это округление того же числа). Чувствительность: с $3{,}465$ вышло бы $12{,}65$ Н; ответ считаем по данному $3{,}47$ — $12{,}7$ Н. Проверка силами: $N = Mg\cos\alpha$ трение $f = Mg\sin\alpha - Ma$ горизонтальная составляющая силы шара на клин $-N\sin\alpha + f\cos\alpha = -Ma\cos\alpha$ — направлена к стене.

Ответ

$F = \rho\cdot\dfrac43\pi(R^3 - r^3)\cdot a\cos\alpha\approx12{,}7$ Н.

Ответ

$F = \rho\cdot\dfrac43\pi(R^3 - r^3)\cdot a\cos\alpha\approx12{,}7$ Н.

Главная идея

Если тело по горизонтали взаимодействует только с одной опорой, горизонтальная сила опоры равна массе тела, умноженной на горизонтальную часть ускорения. Неизвестные силы трения и давления не нужны по отдельности.

Тело катится или скользит по неподвижному клину, клин упирается в стену на гладком полу: сила на стену = M·a·cosα.

Где легко ошибиться

Начать искать трение и момент инерции, а потом ошибиться в формуле для полого шара. Или взять $N\sin\alpha = Mg\sin\alpha\cos\alpha$ , забыв, что трение тоже даёт горизонтальную составляющую.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 4908 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4909, 4910, 4911) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 6) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф11 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: F = (4/3)π(R³ − r³)ρ·a·cos α; для ID 4908 это 12,7 Н). Совпадает; в официальных указаниях сила находится через теорему о движении центра масс и равновесие клина, ускорение берётся из условия.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Начальный вход

Второй и третий законы Ньютона
Объём шара
Разложение ускорения на составляющие

Приёмы решения: Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →