Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

В лаборатории установлен цилиндр, в котором под поршнем находится идеальный газ. На поршень медленно насыпают песок. В процессе сжатия объём газа в цилиндре уменьшился в $n = 6$ раз.

Какую долю массы песка следует после этого медленно убрать с поршня, чтобы объём газа в цилиндре увеличился в $k = 2$ раза? Температуру газа в этих процессах считайте постоянной. Масса поршня не является пренебрежимо малой. Атмосферное давление не изменяется. Ответ приведите с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Не даны ни масса поршня, ни атмосферное давление, ни площадь. Обозначь давление газа до песка буквой — и всё остальное вырази через него. В модели попробуй убрать разную долю песка и посмотри, во сколько раз вырастет объём.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеУбрать песок

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Убрать песок

Какую долю песка убрать, чтобы объём вырос в k раз? Проверь свою догадку.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Песок давит (n − 1)p1; нужно снять n·p1(1 − 1/k).

Подсказка 1

Пусть $p_1$ — давление газа без песка (оно уже включает атмосферу и поршень). Температура постоянна: $pV = \text{const}$ После насыпания объём уменьшился в $n$ раз — давление стало $np_1$ Значит, весь песок добавил давление $(n-1)p_1$

Подсказка 2

Чтобы объём вырос в $k$ раз, давление должно уменьшиться в $k$ раз: стать $\dfrac{np_1}{k}$ Убранная доля $x$ песка снимает давление $x(n-1)p_1$

Разобрать решение по шагам

Давление газа без песка

Поршень покоится, поэтому давление газа под ним равно атмосферному плюс давлению от веса поршня. Обозначим его $p_1$ ни атмосферу, ни поршень знать отдельно не нужно — они не меняются.

Весь песок

Процесс изотермический: $pV = \text{const}$ Объём уменьшился в $n$ раз, значит, давление выросло в $n$ раз: $p_2 = np_1$ Разница давлений создана весом всего песка $Mg$

\frac{Mg}{S} = p_2 - p_1 = (n-1)\,p_1.

Убираем часть песка

Убираем долю $x$ песка. Объём должен вырасти в $k$ раз, значит, давление станет $p_3 = \dfrac{p_2}{k} = \dfrac{np_1}{k}$ . Снятое давление равно $x\dfrac{Mg}{S}$

x(n-1)p_1 = np_1 - \frac{np_1}{k} = np_1\,\frac{k-1}{k}.

$p_1$ сокращается:

x = \frac{n(k-1)}{k(n-1)} = \frac{6\cdot1}{2\cdot5} = 0{,}6.

Проверка

Проверка на конкретных числах: $p_0 = 100$ кПа, поршень $5$ кг на площади $10$ см $^2$ даёт $50$ кПа, $p_1 = 150$ кПа. При $n = 6$ $p_2 = 900$ кПа, песок создаёт $750$ кПа. Убрав $60\,\%$ песка ( $450$ кПа), получим $450$ кПа $= \dfrac{900}{2}$ — объём вырос ровно вдвое. Проверка границы: при $k = n$ формула даёт $x = 1$ — нужно убрать весь песок, газ возвращается к начальному объёму. Поэтому $k$ не может быть больше $n$

Ответ

$x = \dfrac{n(k-1)}{k(n-1)} = 0{,}6$ .

Ответ

$x = \dfrac{n(k-1)}{k(n-1)} = 0{,}6$ .

Главная идея

Всё неизвестное (атмосфера, поршень, площадь) собирается в одно давление p1, через которое выражается вклад песка. Изотерма: давление обратно пропорционально объёму.

Груз на поршне при постоянной температуре и много неизвестных постоянных — выражай всё через начальное давление газа.

Где легко ошибиться

Забыть атмосферу и поршень и считать давление пропорциональным массе песка; тогда получится $x = 1 - \dfrac1k = 0{,}5$ Условие специально подчёркивает, что масса поршня не мала.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 9, версия с ID 4892 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4893, 4894, 4895) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: V₂/V₁ = p₁/p₂ = (mg + p_A·S)/(mg + Mg + p_A·S) = 1/n ⇒ n − 1 = Mg/(p₁S); V₂/V₃ = p₃/p₂ = (p₁S + M̃g)/(n·p₁S) = (1/n)(1 + M̃g/(p₁S)) = 1/k ⇒ n(1/k − 1/n) = M̃g/(p₁S); (M − M̃)/M = n/(n − 1)·(k − 1)/k).

Продолжить тему: Газы и термодинамика →

Тема, знания и приёмы

Газы и термодинамика · Нужна школьная база

Изотермический процесс pV = const
Давление груза на поршень Mg/S
Равновесие поршня

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Баланс сохраняемой величины

Задать вопрос по задаче →