Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №10 — решение · Отборочный этап

Условие

Для увеличения температуры одноатомного идеального газа на $\Delta T = 10$ К в изобарном процессе понадобилось на $\Delta Q = 900$ Дж теплоты больше, чем в процессе с прямо пропорциональной зависимостью давления от объёма.

Какую работу совершит внешняя сила при медленном сжатии этого газа без подведения теплоты к тому моменту, когда температура газа увеличится на $\Delta T_1 = 3$ К? Во всех процессах число моль газа одинаковое. Ответ приведите в [Дж] с округлением до целого числа.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Количество газа не дано, но разница теплот в двух процессах его «выдаёт». В обоих процессах внутренняя энергия меняется одинаково — значит, разница теплот равна разнице работ газа. В модели сравни две полоски «ΔU + A» для двух процессов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва нагрева и сжатие

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два нагрева и сжатие

Сравни теплоту в двух нагревах. Сколько работы нужно на сжатие без теплообмена?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. ΔU одинаково, работы νRΔT и ½νRΔT; разница ½νRΔT = ΔQ. Затем A = 3/2·νR·ΔT1.

Подсказка 1

При одинаковом нагреве $\Delta U = \dfrac32\nu R\Delta T$ одна и та же. В изобарном процессе работа газа $\nu R\Delta T$ В процессе $p\propto V$ работа — площадь трапеции под прямой, проходящей через начало координат: $\dfrac{p_1+p_2}{2}(V_2-V_1) = \dfrac{p_2V_2 - p_1V_1}{2} = \dfrac12\nu R\Delta T$ .

Подсказка 2

Разница теплот $\Delta Q = \nu R\Delta T - \dfrac12\nu R\Delta T = \dfrac12\nu R\Delta T$ , откуда $\nu R = \dfrac{2\Delta Q}{\Delta T}$ . Без теплообмена работа внешней силы целиком идёт во внутреннюю энергию: $A = \dfrac32\nu R\Delta T_1$ .

Разобрать решение по шагам

Первый закон для двух нагревов

В обоих процессах газ нагревается на одно и то же $\Delta T$ поэтому изменение внутренней энергии одноатомного газа одинаково: $\Delta U = \dfrac32\nu R\Delta T$ . По первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A_{\text{газа}}$ , так что разница теплот равна разнице работ газа:

\Delta Q = A_{p} - A_{p\propto V}.

Работы газа

В изобарном процессе $A_p = p\,\Delta V = \nu R\Delta T$ .

В процессе $p = cV$ график на диаграмме $pV$ — отрезок прямой, идущей из начала координат. Работа — площадь трапеции под ним:

A_{p\propto V} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \frac{c(V_2^2 - V_1^2)}{2} = \frac{p_2V_2 - p_1V_1}{2} = \frac12\nu R\Delta T.

Сколько газа

\Delta Q = \nu R\Delta T - \frac12\nu R\Delta T = \frac12\nu R\Delta T\quad\Rightarrow\quad \nu R = \frac{2\Delta Q}{\Delta T} = \frac{2\cdot900}{10} = 180\ \text{Дж/К}.

Сжатие без теплообмена

Теплоту не подводят, $Q = 0$ Значит, вся работа внешней силы идёт на увеличение внутренней энергии:

A_{\text{внеш}} = \Delta U = \frac32\nu R\Delta T_1 = \frac32\cdot180\cdot3 = 810\ \text{Дж}.

Проверка

Проверка через теплоёмкости: изобарная $C_p = \dfrac52\nu R = 450$ Дж/К, в процессе $p\propto V$ — $C = \dfrac32\nu R + \dfrac12\nu R = 2\nu R = 360$ Дж/К. Разница теплот при $\Delta T = 10$ К: $(450 - 360)\cdot10 = 900$ Дж — как в условии. Ответ положителен: внешняя сила при сжатии совершает положительную работу.

Ответ

A = \dfrac32\cdot\dfrac{2\Delta Q}{\Delta T}\cdot\Delta T_1 = \dfrac{3\Delta Q\,\Delta T_1}{\Delta T} = 810

Дж.

Ответ

A = \dfrac32\cdot\dfrac{2\Delta Q}{\Delta T}\cdot\Delta T_1 = \dfrac{3\Delta Q\,\Delta T_1}{\Delta T} = 810

Дж.

Главная идея

При одинаковом нагреве разница теплот — это разница работ. Работа в процессе p ∝ V — площадь трапеции, равная половине νRΔT. Найденное νR даёт энергию адиабатного сжатия.

Сравнение теплот в двух процессах с одинаковым ΔT: ΔU сокращается, остаётся разница работ.

Где легко ошибиться

Считать работу в процессе $p\propto V$ равной $p\Delta V$ с конечным давлением или нулевой. Ещё ошибка — назвать ответом работу газа: при сжатии она отрицательна, а спрашивают работу внешней силы.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 10, версия с ID 4896 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4897, 4898, 4899) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 15) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора, с уточнением («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: Q₁ = U₂ − U₁ + A₁₂ = (3/2)(p₂V₂ − p₁V₁) + (1/2)(p₂V₂ − p₁V₁) = 2νRΔT (процесс p = αV); Q₂ = (5/2)νRΔT; ΔQ = (1/2)νRΔT ⇒ νR = 2ΔQ/ΔT; 0 = U₂ − U₁ + A_газа, A_вн = −A_газа; A_вн = U₂ − U₁ = (3/2)νRΔT = 3(ΔT₁/ΔT)·ΔQ). Итоговая формула A_вн = 3(ΔT₁/ΔT)ΔQ верна и совпадает с нашей. В промежуточном выражении на с. 4 опечатка: написано (3/2)νRΔT, должно быть (3/2)νRΔT₁ (буквально (3/2)·180·10 = 2700 Дж вместо (3/2)·180·3 = 810 Дж).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →

Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

Первый закон термодинамики
Внутренняя энергия одноатомного газа
Работа как площадь под графиком p(V)

Приёмы решения: Закон сохранения энергии · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →