Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Концы движущегося стержня скользят по сторонам прямого угла (см. рис.). В некоторый момент скорость точки А равна $V_A = 3$ м/с, скорость точки В равна $V_B = 7$ м/с. Точка $C$ делит стержень в отношении $\dfrac{AC}{CB} = 3$

Найдите скорость точки С в этот момент. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Скорость точки $C$ не равна ни $V_A$ ни $V_B$ и направлена она не вдоль стены и не вдоль пола. Попробуй описать положение $C$ координатами через положения концов. В модели выбери свою точку на стержне и посмотри, как меняется её скорость, когда точка движется от $A$ к $B$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТочка на стержне

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Точка на стержне

Двигай свою точку от A к B. Как меняются направление и модуль её скорости? Какова скорость точки C?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Запиши x_C = (1 − f)x_A, y_C = f·y_B с f = AC/AB и продифференцируй.

Подсказка 1

Помести угол в начало координат: $A=(x_A;\,0)$ $B=(0;\,y_B)$ Точка $C$ отстоит от $A$ на долю $f=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{4}$ длины стержня. Запиши координаты $C$ через $x_A$ и $y_B$

Подсказка 2

$x_C=(1-f)\,x_A$ $y_C=f\,y_B$ Скорости — производные координат: $v_{Cx}=(1-f)V_A$ $v_{Cy}=-fV_B$ Осталось сложить их по теореме Пифагора.

Разобрать решение по шагам

Координаты точки C

Направим ось $x$ по полу, ось $y$ — по стене, начало — в углу. Тогда $A=(x_A;\,0)$ $B=(0;\,y_B)$ Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ и делит его так, что

f=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{AC+CB}=\frac{3}{3+1}=\frac34.

Двигаясь от $A$ к $B$ на долю $f$ пути, получаем

x_C=(1-f)\,x_A,\qquad y_C=f\,y_B.

Эти формулы верны в любой момент: $f$ не меняется, потому что стержень твёрдый.

Составляющие скорости

Скорость — быстрота изменения координаты. $x_A$ растёт со скоростью $V_A$ $y_B$ уменьшается со скоростью $V_B$

v_{Cx}=(1-f)V_A=\frac14\cdot3=0{,}75\ \text{м/с},\qquad v_{Cy}=-fV_B=-\frac34\cdot7=-5{,}25\ \text{м/с}.

Точка $C$ движется вправо и вниз одновременно.

Модуль скорости

v_C=\sqrt{v_{Cx}^2+v_{Cy}^2}=\sqrt{0{,}75^2+5{,}25^2}=\sqrt{0{,}5625+27{,}5625}=\sqrt{28{,}125}\approx5{,}30\ \text{м/с}.

С округлением до десятых: $5{,}3$ м/с. В общем виде

v_C=\frac{\sqrt{V_A^2+k^2V_B^2}}{k+1},\qquad k=\frac{AC}{CB}.

Проверка

Проверка через мгновенный центр вращения. Проекции скоростей концов на стержень равны: $V_A\cos\varphi=V_B\sin\varphi$ , где $\varphi$ — угол стержня с полом, $\operatorname{tg}\varphi=\dfrac37$ . Мгновенный центр $P$ — четвёртая вершина прямоугольника на точках $O$ $A$ $B$ угловая скорость $\omega=\dfrac{V_A}{PA}$ Расстояние $PC$ при $AB=1$ и $\operatorname{tg}\varphi=\frac37$ : $C=\left(\tfrac14\cos\varphi;\ \tfrac34\sin\varphi\right)$ , $P=(\cos\varphi;\ \sin\varphi)$ , $PC=\sqrt{\left(\tfrac34\cos\varphi\right)^2+\left(\tfrac14\sin\varphi\right)^2}\approx0{,}696$ , $\omega=\dfrac{V_A}{\sin\varphi}\approx7{,}62$ с $^{-1}$ и $\omega\cdot PC\approx5{,}30$ м/с — то же самое (посчитано в тесте). При $C=A$ ( $k=0$ ) формула даёт $V_A$ при $C\to B$ — $V_B$

Ответ

$v_C=\dfrac{\sqrt{V_A^2+k^2V_B^2}}{k+1}=\dfrac{\sqrt{9+441}}{4}\approx5{,}3$ м/с.

Ответ

$v_C=\dfrac{\sqrt{V_A^2+k^2V_B^2}}{k+1}=\dfrac{\sqrt{9+441}}{4}\approx5{,}3$ м/с.

Главная идея

Координаты точки, жёстко связанной с концами, — линейные комбинации координат концов. Скорости комбинируются так же, а модуль собирается по Пифагору.

Точка делит движущийся отрезок в постоянном отношении: запиши её координаты через координаты концов и продифференцируй.

Где легко ошибиться

Взять «среднее» скоростей $\dfrac{V_A+3V_B}{4}$ забыв, что $V_A$ и $V_B$ перпендикулярны. Ещё одна ошибка — перепутать, к какому концу ближе $C$ $AC:CB=3$ значит, что $C$ ближе к $B$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 2, версия с ID 4864 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4865, 4866, 4867) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: AC/CB = n; x_C = x_A/(n + 1), y_C = n·y_B/(n + 1); V_C = √[(V_A/(n + 1))² + (n·V_B/(n + 1))²]).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Деление отрезка в данном отношении
Скорость как производная координаты
Сложение перпендикулярных скоростей

Приёмы решения: Координаты и проекции

Задать вопрос по задаче →