Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Материальная точка движется по оси $OX$ лабораторной системы отсчёта. Начиная с момента времени $t = 0$ координата $x$ точки и проекция $V_X$ скорости связаны соотношением $x = \alpha V_X^2 + \beta$ здесь $\alpha = -2$ с $^2$ /м, $\beta = 2$ м. В начальный момент точка находится в начале отсчёта и движется в положительном направлении оси $OX$

Найдите координату $x$ точки в момент времени $T = 12$ с. Ответ приведите в [м] с округлением до целого числа.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Соотношение связывает координату и скорость, а время в нём не участвует. Подумай: какой формулой для равноускоренного движения связаны $x$ и $V_X$ без времени? Похожа ли она на данную? В модели проследи, где точка поворачивает и куда она уедет к моменту $T$

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеЕхать по соотношению

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ехать по соотношению

Запусти точку. Где она поворачивает и где окажется к моменту T?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Сравни V² = (x − β)/α с формулой V² = V0² + 2a(x − x0): получится a = 1/(2α), V0 = √(−β/α).

Подсказка 1

При равноускоренном движении $V_X^2 - V_0^2 = 2a(x - x_0)$ . Перепиши данное соотношение как $V_X^2 = \dfrac{x-\beta}{\alpha}$ и сравни: это то же самое с $a = \dfrac{1}{2\alpha}$ Начальную скорость найди из $x=0$ при $t=0$

Подсказка 2

$V_0 = \sqrt{-\beta/\alpha} = 1$ м/с, $a = \dfrac{1}{2\alpha} = -\dfrac14$ м/с $^2$ Точка доедет до $x=\beta$ повернёт и поедет назад с тем же ускорением. Подставь $T$ в $x = V_0T + \dfrac{aT^2}{2}$ .

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. Соотношение $x=\alpha V_X^2+\beta$ выполняется во все моменты $t\ge0$ $x(0)=0$ $V_X(0)>0$ Отсюда $V_0=1$ м/с и $a_X=\dfrac1{2\alpha}=-\dfrac14$ м/с $^2$ всюду, где $V_X\ne0$
Допускаем. Ускорение существует в каждый момент (координата дважды дифференцируема). Тогда точка не может задержаться в точке поворота $x=\beta$ при остановке ускорение скачком менялось бы с $-\dfrac14$ м/с $^2$ на $0$ Движение равноускоренное всё время.
Как это влияет на ответ. Если разрешить остановку в $x=\beta$ (скорость непрерывна, ускорение скачет), соотношение тоже выполняется, и $x(12\ \text{с})$ может быть любым от $-6$ до $2$ м. Ответ $-6$ м относится к движению без остановки, как в официальном решении.

Узнаём равноускоренное движение

Из соотношения $x = \alpha V_X^2 + \beta$ выразим квадрат скорости:

V_X^2 = \frac{x-\beta}{\alpha}.

Для движения с постоянным ускорением $a$ есть формула без времени: $V_X^2 = V_0^2 + 2a(x-x_0)$ . Квадрат скорости в обеих формулах — линейная функция координаты. Сравним коэффициенты при $x$ $2a = \dfrac{1}{\alpha}$ то есть

a = \frac{1}{2\alpha} = \frac{1}{2\cdot(-2)} = -\frac14\ \text{м/с}^2.

То же получится, если продифференцировать соотношение по времени: $V_X = 2\alpha V_X\,a_X$ откуда $a_X = \dfrac{1}{2\alpha}$ всюду, где $V_X\ne0$

Начальная скорость

При $t=0$ точка в начале отсчёта, $x=0$

0 = \alpha V_0^2 + \beta\quad\Rightarrow\quad V_0^2 = -\frac{\beta}{\alpha} = \frac{2}{2} = 1,\qquad V_0 = 1\ \text{м/с}

(знак плюс — точка движется в положительном направлении).

Поворот и обратный путь

Ускорение направлено против скорости, точка тормозит. Скорость обнулится через $t_1 = \dfrac{V_0}{|a|} = 4$ с в точке $x=\beta=2$ м — это наибольшая координата: при любой скорости $x = \beta - 2V_X^2 \le \beta$ .

Дальше скорость становится отрицательной, $V_X^2$ снова растёт, $x$ уменьшается — соотношение по-прежнему выполняется, и ускорение остаётся тем же $-\dfrac14$ м/с $^2$ Остановиться в $x=\beta$ на время точка не может: тогда в момент остановки ускорение не существовало бы (слева $-\dfrac14$ м/с $^2$ справа $0$ ), а мы считаем, что ускорение есть в каждый момент.

Координата в момент T

Всё время движение равноускоренное, поэтому

x(T) = V_0T + \frac{aT^2}{2} = 1\cdot12 - \frac{1}{4}\cdot\frac{144}{2} = 12 - 18 = -6\ \text{м}.

Точка уже прошла начало отсчёта на обратном пути.

Проверка

Проверим соотношение в момент $T$ $V_X = V_0 + aT = 1 - 3 = -2$ м/с, тогда $\alpha V_X^2 + \beta = -2\cdot4 + 2 = -6$ м — совпадает с $x(T)$ В момент поворота $t=4$ с: $x = 4 - 2 = 2$ м $=\beta$ $V_X=0$

Ответ

$x(T) = V_0T + \dfrac{T^2}{4\alpha} = -6$ м.

Ответ

$x(T) = V_0T + \dfrac{T^2}{4\alpha} = -6$ м.

Главная идея

Связь «квадрат скорости линейно зависит от координаты» — признак равноускоренного движения: $V^2 - V_0^2 = 2a(x-x_0)$ Коэффициент при $x$ даёт ускорение, а начальное условие — начальную скорость.

Если дана связь скорости и координаты без времени, сравни её с формулой V² − V0² = 2aΔx или продифференцируй по времени.

Где легко ошибиться

Считать, что точка остановится в $x=\beta$ навсегда или что координата не может стать отрицательной: соотношение ограничивает $x$ только сверху ( $x\le\beta$ ). Вторая ошибка — забыть, что при $\alpha<0$ ускорение направлено против оси.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 1, версия с ID 4860 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4861, 4862, 4863) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: движение равноускоренное: подстановка t = T в закон движения; для ID 4860 это −6 м). Совпадает. Официальные указания исходят из равноускоренного движения без остановки; класс движения (ускорение существует в каждый момент) на странице назван явно.

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Формула V² − V0² = 2a(x − x0)
Координата при равноускоренном движении
Производная сложной функции (по желанию)

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →