Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Искусственная планета обращается вокруг Солнца. При наблюдении с Земли за этой планетой максимальный угол между направлением на Солнце и на планету равен $\alpha = 15^\circ$

Найдите период обращения искусственной планеты вокруг Солнца. Считайте, что Земля и искусственная планета движутся вокруг Солнца по окружностям, лежащим в одной плоскости. Период обращения Земли вокруг Солнца $T_1 = 365$ суток. Ответ приведите в сутках с округлением до целых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Угол всего $15^\circ$ — планета всегда видна недалеко от Солнца. Внутри или снаружи орбиты Земли она ходит? В модели выбери радиус орбиты и посмотри, каким бывает наибольший угол между Солнцем и планетой.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеГде видна планета

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Где видна планета

Подбери радиус орбиты, при котором наибольший угол между Солнцем и планетой равен α.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Луч зрения касается орбиты: sinα = r/R; по Кеплеру T = T1(r/R)^{3/2}; при r = R угол постоянен (особый случай).

Подсказка 1

Если бы орбита планеты была больше земной, планета хотя бы иногда оказывалась бы с противоположной от Солнца стороны неба (угол $180^\circ$ ). Значит, $r\le R$ Сначала рассмотри внутреннюю орбиту $r<R$ для неё угол Солнце–Земля–планета наибольший, когда луч от Земли касается орбиты планеты. Отдельно проверь, что возможно при $r=R$

Подсказка 2

В момент касания угол при планете прямой: $\sin\alpha = \dfrac{r}{R}$ , где $r$ и $R$ — радиусы орбит планеты и Земли. По третьему закону Кеплера $\dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{T_1^2}{R^3}$ .

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Из условия. Орбиты — окружности в одной плоскости. Будь планета дальше от Солнца, чем Земля, угол доходил бы до $180^\circ$ поэтому $r\le R$ При $r<R$ периоды разные, планета со временем бывает во всех положениях относительно Земли, и наибольший угол — когда луч зрения касается её орбиты: $\sin\alpha=\dfrac rR$
Особый случай. При $r=R$ периоды равны, и планета может идти в ногу с Землёй с постоянным сдвигом $180^\circ-2\alpha$ угол всё время равен $\alpha$ и формально условие выполнено при $T=365$ суток. Если такая планета обращается навстречу Земле, угол со временем приближается к $90^\circ$ и условие не выполнено.
Как мы отвечаем. Основной ответ $T=T_1\sin^{3/2}\alpha\approx48$ суток — ветвь $r<R$ как в официальном решении. Соорбитальную ветвь называем отдельно: условие её не исключает.

Почему радиус орбиты не больше земного

Если бы радиус орбиты планеты $r$ был больше земного $R$ то в момент, когда Солнце, Земля и планета выстраиваются в линию с Землёй посередине, угол между направлениями на Солнце и на планету был бы $180^\circ$ Наибольший угол всего $15^\circ$ значит, $r\le R$ Сначала решим задачу для внутренней орбиты $r<R$ Равенство $r=R$ этим рассуждением не исключено; его разберём отдельным шагом.

Наибольший угол — при касании

Из Земли планета видна на окружности радиуса $r$ вокруг Солнца. Угол между направлением на Солнце и на точку этой окружности наибольший, когда луч зрения касается окружности. Касательная перпендикулярна радиусу, поэтому треугольник Солнце–планета–Земля прямоугольный с прямым углом при планете:

\sin\alpha = \frac{r}{R},\qquad r = R\sin15^\circ\approx0{,}259\,R.

Третий закон Кеплера

Для тел, обращающихся вокруг Солнца, $\dfrac{T^2}{r^3}$ одинаково. Поэтому

T = T_1\left(\frac{r}{R}\right)^{3/2} = 365\cdot(\sin15^\circ)^{3/2} = 365\cdot0{,}2588^{1{,}5}\approx365\cdot0{,}1317\approx48{,}1\ \text{сут}.

С округлением до целых: $48$ суток.

Почему планета обязательно дойдёт до касательной

Периоды Земли и планеты разные, поэтому угол между их направлениями от Солнца всё время меняется и за синодический период пробегает все значения: планета побывает и в точке касания. Исключение одно — $r = R$ тогда периоды равны, планета идёт в ногу с Землёй, и угол Солнце–Земля–планета вообще не меняется. При сдвиге $\varphi_0 = 180^\circ - 2\alpha$ (равнобедренный треугольник с углами $\alpha$ при основании) он всегда равен $\alpha$ и формально условие «максимальный угол $\alpha$ » выполняется при $T = 365$ суток. Это второй допустимый случай в идеализации, где взаимодействием планеты и Земли пренебрегают. Официальные указания рассматривают ветвь $r<R$ и дают $T = T_1\sin^{3/2}\alpha$

Проверка

Проверка подстановкой: при $r = 0{,}2588\,R$ скорость планеты на орбите $v\propto\sqrt{1/r}$ длина орбиты $\propto r$ период $\propto r^{3/2}$ $0{,}2588\cdot\sqrt{0{,}2588}\approx0{,}1317$ , $365\cdot0{,}1317\approx48$ . Для сравнения: у Меркурия наибольшая элонгация от $18^\circ$ до $28^\circ$ и период $88$ суток — у нашей планеты угол меньше, значит, она ближе к Солнцу и период короче. Это согласуется. Модель с движущимися Землёй и планетой (периоды по Кеплеру) за три года набирает тот же наибольший угол $15{,}0^\circ$ при $r = R$ угол постоянен. Формулы $R_2 = R_1\sin\alpha$ и $T_2 = T_1\sin^{1{,}5}\alpha$ совпадают с официальными указаниями к решению (файл «Решения Ф10 2 попытка», стр. 3).

Ответ

$T = T_1(\sin\alpha)^{3/2}\approx48$ суток при $r<R$ Для соорбитальной ветви с постоянным угловым сдвигом — $365$ суток.

Ответ

$T = T_1(\sin\alpha)^{3/2}\approx48$ суток при $r<R$ Для соорбитальной ветви с постоянным угловым сдвигом — $365$ суток.

Главная идея

Наибольший угол между Солнцем и внутренней планетой виден, когда луч зрения касается её орбиты; дальше период даёт третий закон Кеплера.

Задан наибольший угол между двумя направлениями на движущийся по окружности объект — ищи касательную.

Где легко ошибиться

Написать $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{r}{R}$ (прямой угол не при планете, а при Солнце) или применить закон Кеплера как $T\propto r$ вместо $T\propto r^{3/2}$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 7, версия с ID 4884 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4885, 4886, 4887) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 11) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 3 ↗: R₂ = R₁ sin α, T₂ = T₁ sin^{1,5} α; для α = 15° это 48 суток). Совпадает. Соорбитальный случай r = R в официальных указаниях не рассматривается; на странице он назван особым формальным случаем.

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Нужна школьная база

Касательная перпендикулярна радиусу
Синус в прямоугольном треугольнике
Третий закон Кеплера

Приёмы решения: Оценка и достижимость · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →