Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Мешок с песком падает на длинную шероховатую доску, лежащую на гладкой горизонтальной поверхности, и безотрывно скользит по доске. Масса мешка в $n = 8$ раз меньше массы доски. Перед соударением с доской мешок движется со скоростью $V_0 = 9$ м/с под углом $\alpha = 45^\circ$ к горизонту. Коэффициент трения скольжения мешка по доске $\mu = 0{,}2$ и не зависит от скорости и силы давления мешка на доску. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Доска и мешок движутся поступательно.

Через какое время $T$ мешок остановится на доске? Действие силы тяжести в процессе соударения мешка с доской считайте пренебрежимо малым. Ответ приведите в [с] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Удар короткий, но очень сильный: доска гасит вертикальную скорость мешка огромной силой давления. А трение пропорционально давлению. Что успеет сделать трение за время удара? В модели сравни с вариантом «забыть трение во время удара».

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМешок падает на доску

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Мешок падает на доску

Посмотри на скорости мешка и доски сразу после удара. Через какое время мешок перестанет скользить?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. При ударе Δv_x = μV0 sinα, доска получает μV0 sinα/n; дальше относительная скорость падает с ускорением μg(n+1)/n.

Подсказка 1

За время удара доска гасит вертикальный импульс мешка $mV_0\sin\alpha$ Пока продолжается скольжение, сила трения равна силе давления, умноженной на $\mu$ значит, её импульс равен $\mu mV_0\sin\alpha$ Он уменьшает горизонтальную скорость мешка и разгоняет доску.

Подсказка 2

Сразу после удара: мешок $u_м = V_0\cos\alpha - \mu V_0\sin\alpha$ , доска $u_д = \dfrac{\mu V_0\sin\alpha}{n}$ . Дальше трение $\mu mg$ тормозит мешок с ускорением $\mu g$ и разгоняет доску с ускорением $\dfrac{\mu g}{n}$ Найди, когда скорости сравняются.

Разобрать решение по шагам

Удар: вертикальный импульс

Разложим скорость мешка перед ударом: $v_x = V_0\cos\alpha$ $v_y = V_0\sin\alpha$ при $\alpha = 45^\circ$ обе равны $9\cdot0{,}707\approx6{,}36$ м/с.

Мешок не отскакивает, значит, за время удара его вертикальная скорость обнуляется. Сила давления доски на мешок даёт импульс $mv_y$ (силой тяжести за короткий удар пренебрегаем).

Удар: импульс трения

Пока мешок скользит по доске, сила трения в каждый момент равна $\mu N$ Значит, и её импульс за время удара равен импульсу силы давления, умноженному на $\mu$

\Delta p_x = \mu m v_y.

Трение тормозит мешок и толкает доску вперёд. Сразу после удара

u_м = v_x - \mu v_y = 6{,}36 - 1{,}27 = 5{,}09\ \text{м/с},\qquad u_д = \frac{\mu m v_y}{nm} = \frac{1{,}27}{8}\approx0{,}16\ \text{м/с}.

Поверхность гладкая, поэтому горизонтальный импульс системы сохраняется: $m v_x = m u_м + nm\,u_д$

Скольжение после удара

Теперь сила давления равна $mg$ трение $\mu mg$ Мешок тормозит с ускорением $\mu g = 2$ м/с $^2$ доска разгоняется с ускорением $\dfrac{\mu g}{n} = 0{,}25$ м/с $^2$ Относительная скорость

u = u_м - u_д = v_x - \mu v_y\,\frac{n+1}{n}\approx 6{,}36 - 1{,}43 = 4{,}93\ \text{м/с}

уменьшается с ускорением $\mu g\,\dfrac{n+1}{n} = 2{,}25$ м/с $^2$

Время до остановки на доске

T = \frac{v_x - \mu v_y\,\frac{n+1}{n}}{\mu g\,\frac{n+1}{n}} = \frac{4{,}93}{2{,}25}\approx2{,}19\ \text{с}.

С округлением до десятых: $2{,}2$ с. Если забыть трение во время удара, получится $\dfrac{6{,}36}{2{,}25}\approx2{,}8$ с — другой ответ.

Проверка

Проверка сохранением импульса. Общая скорость в конце $\dfrac{m v_x}{(n+1)m} = \dfrac{6{,}36}{9}\approx0{,}707$ м/с. Скорость мешка через $T$ $5{,}09 - 2\cdot2{,}19 \approx 0{,}71$ м/с; доски: $0{,}16 + 0{,}25\cdot2{,}19\approx0{,}71$ м/с — совпадают. Проскальзывание во время удара не прекращается ( $u = 4{,}93 > 0$ ), так что импульс трения действительно $\mu m v_y$

Ответ

$T = \dfrac{V_0\cos\alpha - \mu V_0\sin\alpha\,\frac{n+1}{n}}{\mu g\,\frac{n+1}{n}}\approx2{,}2$ с.

Ответ

$T = \dfrac{V_0\cos\alpha - \mu V_0\sin\alpha\,\frac{n+1}{n}}{\mu g\,\frac{n+1}{n}}\approx2{,}2$ с.

Главная идея

При коротком ударе трение скольжения пропорционально огромной силе давления, поэтому за удар оно передаёт конечный импульс μ·(импульс нормальной силы). Дальше — обычное скольжение двух тел с сохранением горизонтального импульса.

Тело ударяется о шероховатую поверхность под углом и скользит без отскока: учти импульс трения μ·Δp⊥ за время удара.

Где легко ошибиться

Считать, что трение начинает работать только после удара, и получить $\approx2{,}8$ с. Ещё ошибка — искать момент, когда мешок остановится относительно земли: на гладкой поверхности этого не происходит.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 6, версия с ID 4880 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4881, 4882, 4883) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 9) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: Σ N_iΔt_i = mV₀sinα; |ΔP_x| = μ·mV₀sinα; a_мешка = −μg, a_доски = μ(m/M)g; V_мешка(t) = V₀cosα − μV₀sinα − μgt; V_доски(t) = μ(m/M)V₀sinα + μ(m/M)gt; T = (V₀/g)·[cosα/(μ(1 + m/M)) − sinα]).

Продолжить тему: Силы и ускорение →

Тема, знания и приёмы

Силы и ускорение · Продвинутая подготовка

Импульс силы
Закон сохранения импульса
Сила трения скольжения μN
Относительная скорость

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Относительное движение · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →