Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Колечко покоится на вершине гладкой проволочной параболы $y = y_0 - Ax^2$ здесь $A = 14$ м $^{-1}$ $y_0 > 0$ координаты $x$ $y$ $y_0$ измерены в метрах. Проволочная парабола расположена в вертикальной плоскости.

Какую начальную скорость следует сообщить колечку, чтобы сила, с которой колечко действует на проволоку, была равна нулю в течение всего времени движения? Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Силу сопротивления воздуха считайте пренебрежимо малой. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Если колечко не давит на проволоку, то и проволока на него не действует. Как тогда движется колечко и по какой линии? В модели толкни колечко с разной скоростью и сравни линию его свободного полёта с проволокой.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеТолкнуть колечко

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Толкнуть колечко

Подбери скорость, при которой свободный полёт колечка совпадает с проволокой.

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Запиши траекторию горизонтального броска y = y0 − g x²/(2v²) и приравняй коэффициент к A.

Подсказка 1

Без силы со стороны проволоки на колечко действует только сила тяжести — это тело, брошенное горизонтально из вершины. Его траектория — тоже парабола. Запиши её уравнение.

Подсказка 2

Брошенное горизонтально со скоростью $v$ тело: $x = vt$ $y = y_0 - \dfrac{gt^2}{2} = y_0 - \dfrac{g}{2v^2}x^2$ . Эта парабола должна совпасть с проволокой: $\dfrac{g}{2v^2} = A$

Разобрать решение по шагам

Что значит «не давит»

По третьему закону Ньютона, если колечко не действует на проволоку, то и проволока не действует на колечко. Сопротивления воздуха нет, значит, всё время движения на колечко действует только сила тяжести. Колечко летит свободно — как тело, брошенное горизонтально из вершины (в вершине касательная к параболе горизонтальна).

Траектория свободного полёта

Пусть колечку сообщили скорость $v$ вдоль оси $x$ Тогда

x = vt,\qquad y = y_0 - \frac{gt^2}{2}.

Исключим время: $t = \dfrac{x}{v}$

y = y_0 - \frac{g}{2v^2}\,x^2.

Это тоже парабола с вершиной в той же точке.

Совпадение с проволокой

Колечко нанизано на проволоку и обязано двигаться по ней. Сила со стороны проволоки равна нулю всё время только тогда, когда свободная траектория совпадает с проволокой:

\frac{g}{2v^2} = A\quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{g}{2A}} = \sqrt{\frac{10}{28}}\approx0{,}598\ \text{м/с}.

С округлением до десятых: $0{,}6$ м/с. При большей скорости свободный полёт шёл бы выше проволоки — проволока тянула бы колечко вниз; при меньшей — ниже, и проволока поддерживала бы его.

Проверка

Другой способ: в вершине колечко движется по окружности радиуса кривизны параболы $R = \dfrac{1}{2A}$ Без силы проволоки центростремительное ускорение даёт только $g$ $\dfrac{v^2}{R} = g$ $v^2 = \dfrac{g}{2A}$ — то же самое. Но условие «в вершине» — лишь необходимое; совпадение парабол в шаге 3 показывает, что силы нет и во все последующие моменты. Размерность: $A$ в м $^{-1}$ $\dfrac{g}{A}$ в м $^2$ /с $^2$

Ответ

$v = \sqrt{\dfrac{g}{2A}} \approx 0{,}6$ м/с.

Ответ

$v = \sqrt{\dfrac{g}{2A}} \approx 0{,}6$ м/с.

Главная идея

Если опора не действует на тело, тело летит свободно. Значит, опора должна повторять траекторию свободного полёта — параболу горизонтального броска.

Тело на гладкой направляющей и «сила давления равна нулю всё время» — сравни направляющую с траекторией свободного падения.

Где легко ошибиться

Искать скорость, при которой колечко «не упадёт», через энергию или считать, что подойдёт любая скорость больше некоторой. Нужна ровно одна скорость. Ещё ошибка — потерять двойку: $v^2 = \dfrac{g}{2A}$ а не $\dfrac{g}{A}$

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 3, версия с ID 4868 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4869, 4870, 4871) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 1 ↗: y = h − g·x²/(2V₀²) = y₀ − Ax²; V₀ = √(g/(2A))).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Третий закон Ньютона
Горизонтальный бросок
Уравнение траектории

Приёмы решения: Координаты и проекции · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →