Физтех 2025/26 · Физика · 10 кл., №5 — решение · Отборочный этап

Условие

Два шарнирно соединённых стержня покоятся на цилиндре. Стержни однородные, масса каждого стержня $m = 0{,}3$ кг, длина каждого стержня в два раза больше диаметра цилиндра. Ось цилиндра горизонтальная. Все поверхности гладкие.

Найдите модуль силы, с которой шарнир действует на каждый стержень. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с $^2$ Ответ приведите в [Н] с округлением до целого числа.

Рисунок к условию

О задаче · 10 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, второй тур (2 попытка)
Предмет / класс: Физика · 10 класс
Сезон: 2025/26

Угол между стержнями не задан — он сам установится так, чтобы стержни были в равновесии. На каждый стержень действуют три силы: тяжести, реакции цилиндра и шарнира. В модели наклоняй стержни и смотри, сходятся ли силы и моменты.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеНаклонить стержни

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Наклонить стержни

Подбери угол, при котором моменты сил относительно шарнира уравновешены. Какой будет сила шарнира?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Без JavaScript модель не работает. Проекция на стержень: H = mg·ctgθ; моменты относительно шарнира: cosθ = 2 sin³θ, θ = 45°.

Подсказка 1

По симметрии шарнир действует на каждый стержень горизонтально (вертикальные составляющие на два стержня должны быть равны и противоположны, а по симметрии они одинаковы — значит, нулевые). Реакция цилиндра перпендикулярна стержню. Спроектируй силы на направление стержня: $H\sin\theta = mg\cos\theta$ , где $\theta$ — угол стержня с вертикалью.

Подсказка 2

Найди угол из моментов относительно шарнира. Точка касания находится на расстоянии $d = R\,\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ от шарнира, длина стержня $l = 4R$ Получится $\cos\theta = 2\sin^3\theta$ , откуда $\theta = 45^\circ$

Разобрать решение по шагам

Какие силы действуют на стержень

Пусть $\theta$ — угол стержня с вертикалью. На правый стержень действуют:

сила тяжести $mg$ в середине стержня, на расстоянии $\dfrac{l}{2}$ от шарнира;
сила реакции цилиндра $N$ — перпендикулярно стержню (поверхности гладкие), в точке касания;
сила шарнира $\vec H$

Стержни одинаковые и стоят симметрично. Шарнир действует на левый стержень с силой $-\vec H$ (третий закон), а по симметрии эта сила — зеркальное отражение $\vec H$ Это возможно, только если $\vec H$ горизонтальна.

Сила шарнира через угол

Спроектируем силы на направление стержня: $N$ даёт ноль, сила тяжести — $mg\cos\theta$ (вниз вдоль стержня), горизонтальная сила шарнира — $H\sin\theta$ (вверх вдоль стержня). Равновесие:

H\sin\theta = mg\cos\theta\quad\Rightarrow\quad H = mg\,\operatorname{ctg}\theta.

Осталось найти угол.

Где стержень касается цилиндра

Шарнир находится над осью цилиндра на высоте $h$ а расстояние от оси до стержня равно $R$ $h\sin\theta = R$ Точка касания отстоит от шарнира вдоль стержня на

d = h\cos\theta = R\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta}.

Моменты относительно шарнира

Относительно шарнира момент силы $H$ равен нулю. Сила тяжести стремится повернуть стержень вниз с моментом $mg\cdot\dfrac{l}{2}\sin\theta$ , реакция цилиндра — обратно с моментом $N d$ Из проекции на перпендикуляр к стержню: $N = mg\sin\theta + H\cos\theta = \dfrac{mg}{\sin\theta}$ . Тогда

\frac{mg}{\sin\theta}\cdot R\,\frac{\cos\theta}{\sin\theta} = mg\cdot 2R\sin\theta\quad\Rightarrow\quad \cos\theta = 2\sin^3\theta

(здесь $\dfrac{l}{2} = 2R$ потому что $l = 2\cdot 2R$ ). Угол $\theta = 45^\circ$ подходит: $\dfrac{\sqrt2}{2} = 2\cdot\dfrac{\sqrt2}{4}$ . Другого корня нет: левая часть с ростом $\theta$ убывает, правая растёт.

Ответ

При $\theta = 45^\circ$ $\operatorname{ctg}\theta = 1$ и

H = mg = 0{,}3\cdot10 = 3\ \text{Н}.

Точка касания при этом на расстоянии $d = R = \dfrac{l}{4}$ от шарнира — в пределах стержня.

Проверка

Проверим все три условия равновесия при $\theta=45^\circ$ $m = 0{,}3$ кг. $N = \dfrac{mg}{\sin45^\circ} \approx 4{,}24$ Н. По горизонтали: $N\cos45^\circ = 3$ Н $= H$ По вертикали: $N\sin45^\circ = 3$ Н $= mg$ Моменты относительно шарнира при $R = 1$ $N\cdot d = 4{,}24\cdot1 = 4{,}24$ и $mg\cdot2\sin45^\circ = 3\cdot1{,}414 = 4{,}24$ — сходится.

Ответ

$H = mg\,\operatorname{ctg}45^\circ = mg = 3$ Н.

Ответ

$H = mg\,\operatorname{ctg}45^\circ = mg = 3$ Н.

Главная идея

Симметрия задаёт направление силы шарнира, проекция на стержень связывает её с углом, а моменты относительно шарнира определяют сам угол.

Симметричная конструкция из двух шарнирных стержней: сила шарнира горизонтальна; угол ищи из моментов относительно шарнира.

Где легко ошибиться

Считать угол заданным рисунком и мерить его транспортиром. Ещё ошибка — взять реакцию цилиндра вертикальной: на гладкой поверхности она перпендикулярна стержню.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 10 класс · 2025/26 · отборочный этап, второй тур (2 попытка). Задача 5, версия с ID 4876 — первая в официальном файле; другие числовые версии этого номера (ID 4877, 4878, 4879) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Сайт олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение написано до знакомства с решением организатора; затем ответ совпадает с решением организатора («Решения Ф10 2 попытка 2025», стр. 2 ↗: 2mg = 2N·sinα; mg·(l/2)·sinα = N·R·ctgα; при l = 4R: ctg³α + ctgα − 2 = 0 ⇒ (ctgα − 1)(ctg²α + ctgα + 2) = 0 ⇒ α = π/4 (угол между стержнями прямой); N = √2·mg; F⃗ + N⃗ + mg⃗ = 0⃗ ⇒ F = mg).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Начальный вход

Условия равновесия твёрдого тела
Правило моментов
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил · Симметрия и попарное соответствие

Задать вопрос по задаче →