Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №7 — решение · Отборочный этап

Условие

Одинаковые металлические шарики, находящиеся на большом по сравнению с их радиусом расстоянии, заряжены неизвестными одноименными зарядами $Q_1$ и $Q_2$ такими, что $\dfrac{Q_1}{Q_2} > 1$ Шарики привели в соприкосновение и удалили на прежнее расстояние. В результате сила отталкивания шариков возросла в $2$ раза.

Найдите отношение $\dfrac{Q_1}{Q_2}$ зарядов шариков. Ответ округлите до целого числа. Указание: в рассматриваемом случае заряды шариков действуют друг на друга силой прямо пропорциональной произведению модулей зарядов и обратно пропорциональной квадрату расстояния между зарядами.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Какие заряды будут у одинаковых шариков после касания? Сила пропорциональна произведению зарядов — запиши, во сколько раз она изменилась. В модели подбирай отношение зарядов и «соприкасай» шарики. Ниже можно сверить ответ — целое число.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДва шарика

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Два шарика

При каком отношении зарядов сила после касания растёт в нужное число раз?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми заряды 3 и 1. Каким станет каждый после касания? Во сколько раз изменится произведение зарядов?

Подсказка 1

Одинаковые металлические шарики при касании делят общий заряд поровну: у каждого становится $\dfrac{Q_1 + Q_2}{2}$

Подсказка 2

Расстояние прежнее, поэтому $\dfrac{F'}{F} = \dfrac{\left(\frac{Q_1+Q_2}{2}\right)^2}{Q_1 Q_2} = 2$ . Обозначь $x = \dfrac{Q_1}{Q_2}$ и получи квадратное уравнение.

Разобрать решение по шагам

Заряды после касания

Шарики одинаковые и металлические, при касании заряд перераспределяется поровну. Общий заряд сохраняется, поэтому у каждого становится $\dfrac{Q_1 + Q_2}{2}$

Отношение сил

Сила пропорциональна произведению зарядов, расстояние то же:

\frac{F'}{F} = \frac{(Q_1 + Q_2)^2}{4\,Q_1 Q_2} = 2.

Разделим числитель и знаменатель на $Q_2^2$ $x = \dfrac{Q_1}{Q_2}$ $(x + 1)^2 = 8x$ то есть

x^2 - 6x + 1 = 0.

Выбираем корень

$x = 3 \pm \sqrt{8} = 3 \pm 2\sqrt2$ . Корни $\approx 5{,}83$ и $\approx 0{,}17$ обратны друг другу: это одна пара шариков, только названная наоборот. По условию $Q_1/Q_2 > 1$

\frac{Q_1}{Q_2} = 3 + 2\sqrt2 \approx 5{,}83 \approx 6.

Проверка

Проверка: при $Q_1 = 5{,}83$ $Q_2 = 1$ после касания по $3{,}41$ произведение $3{,}41^2 \approx 11{,}66 = 2 \cdot 5{,}83$ — сила выросла вдвое. Для роста в $n$ раз $x = (2n - 1) + 2\sqrt{n^2 - n}$ : $n = 3$ — $5 + \sqrt{24} \approx 9{,}90 \to 10$ ; $n = 4$ — $7 + \sqrt{48} \approx 13{,}93 \to 14$ ; $n = 5$ — $9 + \sqrt{80} \approx 17{,}94 \to 18$ .

Ответ

$\dfrac{Q_1}{Q_2} = 3 + 2\sqrt2 \approx 6$ .

Ответ

$\dfrac{Q_1}{Q_2} = 3 + 2\sqrt2 \approx 6$ .

Главная идея

После касания одинаковые шарики имеют одинаковые заряды; среднее арифметическое в квадрате больше произведения — отсюда рост силы и квадратное уравнение.

«Одинаковые шарики привели в соприкосновение» — заряды выравниваются: (Q₁ + Q₂)/2 каждому.

Где легко ошибиться

Взять корень меньше 1; считать, что заряды складываются у каждого шарика; округлить 3 + √8 до 5.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 7, версия с ID 3465 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3466, 3467, 3468) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 14) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Нужна школьная база

Закон сохранения заряда
Закон Кулона: сила пропорциональна произведению зарядов
Квадратное уравнение

Приёмы решения: Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →