Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №2 — решение · Отборочный этап

Условие

Велосипедист на двухколесном велосипеде движется по прямой, равномерно вращая педали, которые за одну минуту совершают $60$ оборотов. Качение происходит без проскальзывания. Две зубчатые шестеренки соединены натянутой цепью, передающей движение с ведущей передней шестеренки на заднюю шестеренку. Задняя шестеренка и заднее колесо вращаются с одной и той же угловой скоростью. Диаметр задней шестеренки в $3$ раза меньше диаметра передней шестеренки. Диаметр покрышки заднего колеса $0{,}7$ м.

Найдите скорость велосипедиста. Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Сколько оборотов делает заднее колесо за один оборот педалей? Сколько метров проезжает велосипед за один оборот колеса? В модели запусти поездку и смотри на счётчики оборотов. Ниже можно сверить ответ — скорость в м/с с точностью до десятых.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеВелосипед на дороге

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Велосипед на дороге

Сколько оборотов делает заднее колесо за один оборот педалей и сколько метров это даёт?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй две шестерёнки на цепи: большую с 48 зубьями и малую с 16. Сколько оборотов сделает малая, пока большая сделает один?

Подсказка 1

Цепь не проскальзывает: за одно и то же время по передней и по задней шестерёнке проходит одна и та же длина цепи. Задняя в $3$ раза меньше — значит, она делает в $3$ раза больше оборотов.

Подсказка 2

Заднее колесо делает $3 \cdot 60 = 180$ оборотов в минуту. Колесо катится без проскальзывания, поэтому за оборот велосипед проезжает длину покрышки $\pi D$

Разобрать решение по шагам

Передача цепью

Цепь натянута и не проскальзывает, поэтому точки на ободах обеих шестерёнок движутся со скоростью цепи. За один оборот передней шестерёнки цепь сдвигается на длину её окружности $\pi d_{\text{пер}}$ Задняя шестерёнка с окружностью в $3$ раза меньше за это время делает $3$ оборота.

Педали вращают переднюю шестерёнку: $60$ оборотов в минуту. Задняя шестерёнка и с ней заднее колесо делают $3 \cdot 60 = 180$ оборотов в минуту.

Качение без проскальзывания

За один оборот колесо, катясь без проскальзывания, прокладывает по дороге свою окружность: $\pi D = 0{,}7\pi$ м. За минуту:

s = 180 \cdot 0{,}7\pi = 126\pi \approx 395{,}8 \text{ м}.

Скорость

v = \frac{126\pi}{60} = 2{,}1\pi \approx 6{,}60 \text{ м/с} \approx 6{,}6 \text{ м/с}.

В общем виде $v = \dfrac{\pi n k D}{60}$ , где $n$ — обороты педалей в минуту, $k$ — во сколько раз передняя шестерёнка больше задней.

Проверка

Другой путь: угловая скорость педалей $\omega = 2\pi \cdot \frac{60}{60} = 2\pi$ рад/с, колеса — $6\pi$ рад/с, скорость $v = \omega R = 6\pi \cdot 0{,}35 \approx 6{,}60$ м/с. В других версиях: $\pi \cdot 70 \cdot 4 \cdot 0{,}6/60 \approx 8{,}80 \to 8{,}8$ ; $\pi \cdot 72 \cdot 2 \cdot 0{,}6/60 \approx 4{,}52 \to 4{,}5$ ; $\pi \cdot 55 \cdot 3 \cdot 0{,}63/60 \approx 5{,}44 \to 5{,}4$ м/с.

Ответ

$v \approx 6{,}6$ м/с.

Ответ

$v \approx 6{,}6$ м/с.

Главная идея

Цепь передаёт одинаковую линейную скорость ободам шестерёнок, поэтому малая задняя крутится во столько раз быстрее, во сколько она меньше; колесо без проскальзывания проезжает за оборот свою окружность.

«Шестерёнки, цепь, ремень» — равны линейные скорости ободов, угловые обратно пропорциональны радиусам.

Где легко ошибиться

Считать, что заднее колесо крутится с частотой педалей (2,2 м/с), или разделить на 3 вместо умножения; взять радиус вместо диаметра.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 2, версия с ID 3445 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3446, 3447, 3448) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 2) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Длина окружности πD
Частота вращения: обороты в минуту

Приёмы решения: Относительное движение

Задать вопрос по задаче →