Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №4 — решение · Отборочный этап

Условие

Покоящаяся система тел состоит из стержня, к которому прикреплены грузы, двух блоков и нитей (см. рис.). Точки крепления нитей к стержню делят его длину на такие три части, что $\dfrac{a}{b} = 3$ $\dfrac{c}{b} = 5$ Система находится в однородном поле силы тяжести. Массы блоков, стержня и нитей пренебрежимо малы.

Найдите отношение $\dfrac{m_1}{m_2}$ масс грузов. В ответе укажите число с округлением до десятых.

Рисунок к условию

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Проследи нить от потолка до стержня: какая у неё сила натяжения на каждом участке? С какой силой подвижный блок тянет стержень? В модели подбирай отношение масс, пока стержень не повиснет горизонтально. Ниже можно сверить ответ — число с точностью до десятых.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСтержень на блоках

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Стержень на блоках

При каком отношении масс стержень висит горизонтально?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Нарисуй стержень и отметь все силы со стороны нити. Сколько кусков нити тянут подвижный блок вверх?

Подсказка 1

Нить одна, блоки и нить лёгкие — натяжение $T$ везде одинаково. Подвижный блок держат два куска нити, поэтому он тянет стержень вверх силой $2T$ а свободный конец нити — силой $T$

Подсказка 2

Запиши два условия равновесия стержня: сумма сил $2T + T = (m_1 + m_2)g$ и сумма моментов относительно левого конца: $2T\,a + T(a + b) = m_2 g\,(a + b + c)$ .

Разобрать решение по шагам

Натяжение нити

Нить идёт от потолка вниз, огибает подвижный блок снизу, поднимается к неподвижному блоку, перекинута через него и спускается к стержню. Блоки и нить невесомы, трения нет, поэтому натяжение одинаково по всей нити — обозначим его $T$

На подвижный блок действуют два куска нити, каждый тянет вверх с силой $T$ Невесомый блок передаёт стержню силу $2T$ вверх в точке крепления (на расстоянии $a$ от левого конца). Конец нити тянет стержень вверх силой $T$ в точке на расстоянии $a + b$

Равновесие сил

На стержень действуют: вверх $2T$ и $T$ вниз — веса грузов $m_1 g$ (левый конец) и $m_2 g$ (правый конец). Стержень невесом и покоится:

3T = (m_1 + m_2)\,g.

Силы на стержне: синие — со стороны нити (2T от подвижного блока и T от конца нити), оранжевые — веса грузов. Моменты считаем относительно точки O.

Равновесие моментов

Моменты относительно левого конца $O$ (там приложена $m_1 g$ её момент ноль). Возьмём $b = 1$ тогда $a = 3$ $c = 5$ длина стержня $9$

2T \cdot 3 + T \cdot 4 = m_2 g \cdot 9 \quad\Rightarrow\quad T = 0{,}9\,m_2 g.

Отношение масс

Из равновесия сил: $m_1 g = 3T - m_2 g = 2{,}7 m_2 g - m_2 g = 1{,}7\,m_2 g$ , то есть

\frac{m_1}{m_2} = 1{,}7.

В общем виде $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{3c + 2b}{3a + b}$ .

Проверка

Проверим моментами относительно правого конца: $m_1 g \cdot 9 = 2T \cdot 6 + T \cdot 5 = 17T$ , и с $3T = (m_1 + m_2)g$ снова $m_1/m_2 = 1{,}7$ В других версиях: $\dfrac{3 \cdot 4 + 2}{3 \cdot 1{,}8 + 1} = \dfrac{14}{6{,}4} \approx 2{,}19 \to 2{,}2$ ; $\dfrac{11}{8{,}5} \approx 1{,}29 \to 1{,}3$ ; $\dfrac{29}{10} = 2{,}9$

Ответ

$\dfrac{m_1}{m_2} = 1{,}7$

Ответ

$\dfrac{m_1}{m_2} = 1{,}7$

Главная идея

Одна невесомая нить — одно натяжение T везде; подвижный блок даёт 2T. Затем равновесие сил и моментов для стержня.

«Стержень на блоках, массы блоков малы» — найти натяжение каждой нити, затем две записи равновесия: силы и моменты.

Где легко ошибиться

Считать, что подвижный блок тянет с силой T, или забыть, что m₁ связано с моментами только через равновесие сил; взять моменты без учёта плеч a + b.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 4, версия с ID 3453 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3454, 3455, 3456) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 5) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Равновесие и моменты →

Тема, знания и приёмы

Равновесие и моменты · Нужна школьная база

Подвижный и неподвижный блоки
Момент силы, правило рычага
Равновесие твёрдого тела

Приёмы решения: Баланс моментов сил · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →