Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №1 — решение · Отборочный этап

Условие

Туристический маршрут состоит из трех участков: переход ко входу в пещеру, спуск в пещере на дно и подъем к выходу из пещеры. Спуск и подъем происходят по одной и той же тропе. Средняя скорость на спуске $4$ км/ч, средняя скорость на подъеме в $3$ раза меньше. Расстояние от точки сбора группы туристов до входа в пещеру $10$ км. Движение в пещере безостановочное.

Найдите продолжительность перехода от старта к пещере, если известно, что средняя скорость на этом участке пути равна средней скорости за все время движения в пещере. В ответе приведите целое число минут.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Длина тропы в пещере не дана. Обозначь её $L$ и посчитай время спуска и подъёма. Сократится ли $L$ В модели второй турист проходит тот же путь с постоянной скоростью — подбери её. Ниже можно сверить ответ — целое число минут.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеПещера и ровная тропа

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Пещера и ровная тропа

С какой постоянной скоростью надо пройти тот же путь, чтобы прийти одновременно с туристом в пещере?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми тропу в пещере длиной 1 км и посчитай время спуска и подъёма; потом возьми 3 км. Какая получается средняя скорость?

Подсказка 1

Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время. Она не равна полусумме скоростей $4$ и $\frac43$ км/ч: на медленный подъём уходит больше времени.

Подсказка 2

Спуск длится $\frac{L}{4}$ ч, подъём $\frac{3L}{4}$ ч, путь $2L$ Средняя скорость в пещере $\frac{2L}{L/4 + 3L/4} = 2$ км/ч — длина $L$ сократилась.

Разобрать решение по шагам

Что значит «средняя скорость в пещере»

Средняя скорость — путь, делённый на время, за которое он пройден. В пещере туристы спускаются по тропе длины $L$ и поднимаются по ней же, всего путь $2L$ Длина $L$ в условии не дана — посмотрим, понадобится ли она.

Время в пещере и средняя скорость

Спуск со скоростью $4$ км/ч длится $\dfrac{L}{4}$ ч, подъём в $3$ раза медленнее — со скоростью $\dfrac43$ км/ч — длится $\dfrac{3L}{4}$ ч. Всего $L$ ч. Средняя скорость

v_{\text{ср}} = \frac{2L}{L} = 2 \text{ км/ч}.

$L$ сократилась: при любой длине тропы ответ один. В общем виде $v_{\text{ср}} = \dfrac{2v}{k+1}$ .

Обрати внимание: полусумма $\dfrac{4 + 4/3}{2} \approx 2{,}67$ км/ч больше. Медленный подъём длится втрое дольше спуска, поэтому «весит» в средней скорости сильнее.

Время перехода

Переход в $10$ км проходят с той же средней скоростью $2$ км/ч:

t = \frac{10}{2} = 5 \text{ ч} = 300 \text{ мин}.

Проверка

Проверка на числах: при $L = 1$ км спуск длится $15$ мин, подъём $45$ мин, $2$ км за час — $2$ км/ч; при $L = 3$ км — $45$ и $135$ мин, $6$ км за $3$ часа — снова $2$ км/ч. В других версиях по формуле $t = \dfrac{S(k+1)}{2v}$ $6{,}6 \cdot 4{,}5 / 6 = 4{,}95$ ч $= 297$ мин; $6 \cdot 3 / 8 = 2{,}25$ ч $= 135$ мин; $7 \cdot 3 / 7 = 3$ ч $= 180$ мин.

Ответ

$300$ мин.

Ответ

$300$ мин.

Главная идея

Средняя скорость считается через весь путь и всё время; неизвестная длина пути в пещере при этом сокращается.

«Туда и обратно с разными скоростями, длина не дана» — средняя скорость равна 2v₁v₂/(v₁ + v₂) и не зависит от длины.

Где легко ошибиться

Взять полусумму скоростей (≈ 2,67 км/ч) и получить 225 мин; забыть перевести часы в минуты.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 1, версия с ID 3441 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3442, 3443, 3444) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 1) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Кинематика →

Тема, знания и приёмы

Кинематика · Нужна школьная база

Средняя скорость: путь, делённый на время
Время = путь : скорость

Приёмы решения: Среднее и взвешенное среднее

Задать вопрос по задаче →