Физика · 9 класс · Физтех 2024/25 · первый тур

Задача 6. Образец с переменной теплоёмкостью

Условие

В эксперименте получена зависимость удельной теплоемкости исследуемого образца от температуры (см. график). Образец, температура которого 10 ∘10\,^\circС, помещают в легкий калориметр, содержащий жидкость при температуре 78 ∘78\,^\circС. Масса жидкости в 33 раза больше массы образца. Жидкость остывает, брусок нагревается, в калориметре устанавливается тепловое равновесие.

Найдите температуру в калориметре в равновесном состоянии. Ответ приведите в [∘^\circС] c округлением до целых. В рассматриваемом диапазоне температур удельная теплоемкость жидкости 2,5⋅1032{,}5 \cdot 10^3 Дж/(кг⋅∘\cdot^\circС). Потери теплоты и теплоемкость калориметра считайте пренебрежимо малыми.

2000300040001000050100t, °Cc, Дж/(кг·°C)
Рисунок к условию
О задаче · 9 класс
Олимпиада
Физтех (МФТИ)
Этап
Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс
Физика · 9 класс
Сезон
2024/25

Теплоёмкость образца меняется при нагревании. Как тогда посчитать теплоту, которую он получил? Подумай, что означает площадь под графиком. В модели подбирай конечную температуру. Ниже можно сверить ответ — целое число градусов.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКалориметр и график

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Калориметр и график

При какой температуре теплота, полученная образцом, равна теплоте, отданной жидкостью?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Возьми θ = 50 °C и посчитай: сколько теплоты отдаст жидкость и сколько получит килограмм образца (площадь трапеции под графиком). Кто больше?

Подсказка 1

Если бы cc была постоянной, теплота была бы cmΔtcm\Delta t — площадь прямоугольника под графиком. Когда cc меняется, теплота — площадь под графиком c(t)c(t) от t1t_1 до конечной температуры θ\theta, умноженная на массу.

Подсказка 2

По графику c(t)=2000+20tc(t) = 2000 + 20t. Площадь под прямой — трапеция: Q=m c(10)+c(θ)2(θ−10)Q = m\,\dfrac{c(10) + c(\theta)}{2}(\theta - 10). Жидкость отдаёт 3m⋅2500 (78−θ)3m \cdot 2500\,(78 - \theta).

Разобрать решение по шагам
1

Теплоёмкость по графику

График — прямая через точки (0; 2000)(0;\ 2000) и (100; 4000)(100;\ 4000), поэтому

c(t)=2000+20t,c(t) = 2000 + 20t,

где cc — в Дж/(кг·°C), tt — в °C.

2

Теплота образца — площадь под графиком

Разобьём нагрев на маленькие шаги Δt\Delta t: на каждом cc почти постоянна, и образец получает m c(t) Δtm\,c(t)\,\Delta t — узкий столбик под графиком. Сумма столбиков — площадь под графиком от 10 ∘10\,^\circC до θ\theta. Под прямой это трапеция:

Qобр=m⋅c(10)+c(θ)2 (θ−10)=m (2100+10θ)(θ−10).Q_{\text{обр}} = m\cdot\frac{c(10) + c(\theta)}{2}\,(\theta - 10) = m\,(2100 + 10\theta)(\theta - 10).
2000300040001000050100Q/mt, °Cc, Дж/(кг·°C)
Теплота, полученная килограммом образца, — площадь трапеции под графиком от t₁ = 10 °C до θ = 60 °C.
3

Тепловой баланс

Жидкость массы 3m3m остывает с 78 ∘78\,^\circC до θ\theta и отдаёт Qж=3m⋅2500 (78−θ)Q_{\text{ж}} = 3m \cdot 2500\,(78 - \theta). Потерь нет: Qобр=QжQ_{\text{обр}} = Q_{\text{ж}},

(2100+10θ)(θ−10)=7500 (78−θ).(2100 + 10\theta)(\theta - 10) = 7500\,(78 - \theta).

Раскрываем скобки: 10θ2+2000θ−21 000=585 000−7500θ10\theta^2 + 2000\theta - 21\,000 = 585\,000 - 7500\theta, то есть

θ2+950 θ−60 600=0.\theta^2 + 950\,\theta - 60\,600 = 0.
4

Решаем уравнение

θ=−950+9502+4⋅60 6002=−950+1 144 9002=−950+10702=60 ∘C.\theta = \frac{-950 + \sqrt{950^2 + 4 \cdot 60\,600}}{2} = \frac{-950 + \sqrt{1\,144\,900}}{2} = \frac{-950 + 1070}{2} = 60\,^\circ\text{C}.

Второй корень отрицательный и не подходит. 60 ∘60\,^\circC лежит между 1010 и 78 ∘78\,^\circC — разумно.

Проверка

Проверка: образец получает (2100+600)⋅50=135 000(2100 + 600) \cdot 50 = 135\,000 Дж на килограмм, жидкость отдаёт 7500⋅18=135 0007500 \cdot 18 = 135\,000 Дж — баланс сходится. Если бы взяли постоянную c=2200c = 2200, получили бы около 62,6 ∘62{,}6\,^\circC — график важен. Другие версии: ID 3462 — θ2+1200θ−95 400=0\theta^2 + 1200\theta - 95\,400 = 0, θ≈74,8→75 ∘\theta \approx 74{,}8 \to 75\,^\circC; ID 3463 — θ2+1450θ−68 750=0\theta^2 + 1450\theta - 68\,750 = 0, θ≈46,0→46 ∘\theta \approx 46{,}0 \to 46\,^\circC; ID 3464 — θ2+700θ−25 816=0\theta^2 + 700\theta - 25\,816 = 0, θ≈35,1→35 ∘\theta \approx 35{,}1 \to 35\,^\circC.

Ответ

θ=60 ∘\theta = 60\,^\circC.

Ответ

θ=60 ∘\theta = 60\,^\circC.

Главная идея

Когда теплоёмкость зависит от температуры, теплота — площадь под графиком c(t); для прямой это трапеция, и баланс даёт квадратное уравнение.

«Дан график c(t)» — теплота равна m·(площадь под графиком), а не c·m·Δt с одним значением c.

Где легко ошибиться

Взять теплоёмкость при начальной температуре (≈ 62,6 °C) или при 50 °C; ошибиться со знаками при раскрытии скобок.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 6, версия с ID 3461 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3462, 3463, 3464) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 11) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Теплообмен и фазовые переходы →
Тема, знания и приёмы

Теплообмен и фазовые переходы · Нужна школьная база

  • Количество теплоты Q = cmΔt
  • Уравнение теплового баланса
  • Площадь трапеции
  • Квадратное уравнение

Приёмы решения: Тепловой баланс по состояниям · Чтение графика и сопоставление состояний

Задать вопрос по задаче →
Увеличенный рисунок