Физтех 2024/25 · Физика · 9 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

В мерный стакан (прямой круговой цилиндр) до отметки $12$ см над уровнем дна налита вода. В стакан опустили грузик, сделанный из пластика и металла. Масса грузика в $8$ раз меньше массы воды. Внутри грузика есть закрытая воздушная полость, занимающая $20\%$ всего объема, металл составляет $10\%$ всего объема, остальной объем – пластик. Плотность металла в $2{,}7$ раза больше плотности воды, плотность пластика составляет $0{,}8$ от плотности воды.

На сколько сантиметров поднимется уровень воды в сосуде? Ответ приведите в [см] с округлением до десятых.

О задаче · 9 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, первый тур (1 попытка)
Предмет / класс: Физика · 9 класс
Сезон: 2024/25

Сначала реши, что будет с грузиком в воде: утонет или будет плавать? От этого зависит, что считать — вытесненную массу или вытесненный объём. В модели опусти грузик и посмотри. Ниже можно сверить ответ — подъём уровня в сантиметрах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеМерный стакан

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Мерный стакан

Утонет грузик или будет плавать и на сколько поднимется вода?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Посчитай массу 10 см³ грузика: 1 см³ металла, 7 см³ пластика, 2 см³ воздуха. Больше она или меньше 10 г?

Подсказка 1

Найди среднюю плотность грузика: доли объёма, умноженные на плотности частей (воздух почти ничего не весит). Сравни её с плотностью воды.

Подсказка 2

Средняя плотность $0{,}1 \cdot 2{,}7 + 0{,}7 \cdot 0{,}8 = 0{,}83$ плотности воды — грузик плавает. Плавающее тело вытесняет воду массой, равной своей массе.

Разобрать решение по шагам

Плавает или тонет

Пусть объём грузика $V$ Масса: металл $0{,}1V \cdot 2{,}7\rho_{\text{в}}$ , пластик $0{,}7V \cdot 0{,}8\rho_{\text{в}}$ , воздух — почти ноль. Средняя плотность

\bar\rho = (0{,}27 + 0{,}56)\,\rho_{\text{в}} = 0{,}83\,\rho_{\text{в}} < \rho_{\text{в}},

поэтому грузик плавает, часть его над водой.

Сколько воды вытеснено

Плавающий грузик в равновесии: сила Архимеда равна силе тяжести, то есть вытесненная вода весит столько же, сколько грузик. Её масса $m = \dfrac{M}{8}$ где $M$ — масса воды в стакане.

Подъём уровня

Стакан — цилиндр с площадью дна $S$ Вода массы $M$ занимает высоту $12$ см; вытесненный объём массы $\dfrac{M}{8}$ поднимет уровень на

\Delta h = \frac{12}{8} = 1{,}5 \text{ см}.

Если бы грузик тонул (средняя плотность больше воды), он вытеснял бы свой объём, а не свою массу: $\Delta h = \dfrac{H}{n\,\bar\rho/\rho_{\text{в}}}$ .

Проверка

В других версиях грузик ведёт себя по-разному. ID 3450: $\bar\rho = 0{,}22 \cdot 2{,}7 + 0{,}58 \cdot 0{,}8 = 1{,}058\rho_{\text{в}}$ — тонет, $\Delta h = \dfrac{16}{7 \cdot 1{,}058} \approx 2{,}16 \to 2{,}2$ см. ID 3451: $0{,}963\rho_{\text{в}}$ — плавает, $15/6 = 2{,}5$ см. ID 3452: $1{,}115\rho_{\text{в}}$ — тонет, $\dfrac{22}{6 \cdot 1{,}115} \approx 3{,}29 \to 3{,}3$ см. Утонувший грузик считаем целиком под водой (он мал по сравнению с объёмом воды).

Ответ

$\Delta h = 1{,}5$ см.

Ответ

$\Delta h = 1{,}5$ см.

Главная идея

Сначала средняя плотность решает судьбу тела: плавающее вытесняет свою массу воды, утонувшее — свой объём.

«Составное тело с полостью опускают в воду» — сравнить среднюю плотность с плотностью воды, потом выбрать закон вытеснения.

Где легко ошибиться

Не проверить, плавает ли грузик, и посчитать по объёму; учесть полость как вещество с плотностью; забыть, что в двух версиях грузик тонет.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 9 класс · 2024/25 · отборочный этап, первый тур (1 попытка). Задача 3, версия с ID 3449 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3450, 3451, 3452) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 4) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф9 1 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Жидкости и плавание →

Тема, знания и приёмы

Жидкости и плавание · Нужна школьная база

Плотность и средняя плотность
Закон Архимеда и условие плавания
Объём цилиндра

Приёмы решения: Разбор случаев · Уравнение сил

Задать вопрос по задаче →