Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №9 — решение · Отборочный этап

Условие

Приводное колесо велосипедной динамо-машинки прижато к шине катящегося без проскальзывания колеса. Якорь велосипедной динамо-машинки, содержащий $N = 1900$ витков, каждый площадью $S = 4$ см², вращается в однородном магнитном поле с индукцией $B = 0{,}02$ Тл. Диаметр приводного колеса динамо-машинки $d = 2$ см.

С какой по величине $v$ скоростью должен ехать велосипедист, чтобы лампочка в фаре велосипеда, рассчитанная на действующее значение напряжения $U_{\text{Д}} = 2{,}8$ В, светилась нормальным накалом при работе динамо-машинки? Ответ приведите в [м/с] с округлением до десятых.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Скорость велосипеда передаётся якорю через два колеса. Подумай, с какой скоростью движется шина относительно рамы и что такое действующее значение переменной ЭДС. Ниже можно сверить ответ в метрах в секунду.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеДинамо-машинка на велосипеде

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Динамо-машинка на велосипеде

С какой скоростью ехать, чтобы действующее значение ЭДС якоря было равно напряжению лампы?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Обод приводного колеса движется со скоростью велосипеда: ω = 2v/d. Амплитуда ЭДС якоря NBSω, действующее значение в √2 раз меньше — приравняй его напряжению лампы.

Подсказка 1

Колесо катится без проскальзывания: относительно рамы велосипеда точки шины движутся со скоростью $v$ Приводное колесо прижато к шине и тоже не проскальзывает — с какой угловой скоростью оно вращается?

Подсказка 2

Обод приводного колеса движется со скоростью $v$ поэтому $\omega = \dfrac{v}{d/2} = \dfrac{2v}d$ . ЭДС якоря $e = NBS\omega\sin\omega t$ , а её действующее значение в $\sqrt2$ раз меньше амплитуды.

Разобрать решение по шагам

Как быстро вращается якорь

В системе отсчёта велосипеда ось колеса неподвижна, а шина движется со скоростью $v$ колесо катится без проскальзывания, и его нижняя точка покоится относительно дороги. Приводное колесо динамо-машинки прижато к шине и тоже не проскальзывает — его обод движется со скоростью $v$

\omega = \frac{v}{d/2} = \frac{2v}{d}.

Якорь вращается вместе с приводным колесом, с той же угловой скоростью.

ЭДС якоря и действующее значение

Поток через один виток $\Phi = BS\cos\omega t$ ЭДС всех $N$ витков

e = -N\Phi' = NBS\omega\sin\omega t.

Амплитуда $\mathcal E_{\max} = NBS\omega$ . Лампа рассчитана на действующее значение — оно в $\sqrt2$ раз меньше амплитуды: $\dfrac{NBS\omega}{\sqrt2}$ . Сопротивление и индуктивность обмотки не учитываем — лампа получает всю ЭДС.

Шина и обод приводного колеса движутся относительно рамы со скоростью

v

напряжение лампы — действующее значение ЭДС, в

\sqrt2

раз меньше амплитуды.

Ответ

Лампа светится нормально, когда $\dfrac{NBS\omega}{\sqrt2} = U_{\text{Д}}$ . Тогда

v = \frac{\omega d}2 = \frac{\sqrt2\,U_{\text{Д}}\,d}{2NBS} = \frac{1{,}414\cdot 2{,}8\cdot 0{,}02}{2\cdot 1900\cdot 0{,}02\cdot 4\cdot 10^{-4}} \approx 2{,}6 \text{ м/с}.

Это около 9 км/ч — спокойная езда.

Проверка

Проверка: независимый расчёт для пробной скорости вычисляет ЭДС $NBS\omega\sin\omega t$ в 4000 точках периода, берёт действующее значение как корень из среднего квадрата и делением отрезка пополам подбирает скорость, при которой оно равно $U_{\text{Д}}$ $2{,}605$ м/с. Другие версии: ID 3940 —

\dfrac{1{,}414\cdot 2{,}5\cdot 0{,}02}{2\cdot 1300\cdot 0{,}01\cdot 6\cdot 10^{-4}} \approx 4{,}5

м/с; ID 3941 —

\dfrac{1{,}414\cdot 2{,}3\cdot 0{,}01}{2\cdot 2000\cdot 0{,}01\cdot 4\cdot 10^{-4}} \approx 2{,}0

м/с; ID 3942 —

\dfrac{1{,}414\cdot 3{,}0\cdot 0{,}03}{2\cdot 1400\cdot 0{,}03\cdot 4\cdot 10^{-4}} \approx 3{,}8

м/с.

Ответ

$v = \dfrac{\sqrt2\,U_{\text{Д}}\,d}{2NBS} \approx 2{,}6$ м/с.

Ответ

$v = \dfrac{\sqrt2\,U_{\text{Д}}\,d}{2NBS} \approx 2{,}6$ м/с.

Главная идея

Шина движется относительно рамы со скоростью v, обод приводного колеса — тоже: ω = 2v/d. Амплитуда ЭДС якоря NBSω, действующее значение в √2 раз меньше; из NBSω/√2 = U_Д: v = √2·U_Д·d/(2NBS) ≈ 2,6 м/с.

Генератор с вращающейся рамкой: амплитуда ЭДС NBSω, действующее значение NBSω/√2; качение без проскальзывания передаёт линейную скорость от обода к ободу.

Где легко ошибиться

Приравнять напряжению лампы амплитуду ЭДС, а не действующее значение: v = U_Д·d/(2NBS) ≈ 1,8 м/с. Или взять диаметр приводного колеса за радиус: ω = v/d, и скорость получается вдвое больше — 5,2 м/с.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 9, версия с ID 3939 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3940, 3941, 3942) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 13) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 3 ↗).

Продолжить тему: Магнитное поле и индукция →

Тема, знания и приёмы

Магнитное поле и индукция · Нужна школьная база

Электромагнитная индукция: ЭДС вращающейся рамки
Действующее значение переменного напряжения
Качение без проскальзывания

Приёмы решения: Относительное движение · Удачная подстановка или замена

Задать вопрос по задаче →