Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №8 — решение · Отборочный этап

Условие

В электрической цепи, схема которой приведена на рисунке, ключ в перемычке разомкнут. Ток и напряжения в цепи не изменяются со временем. Ключ замыкают. Сразу после замыкания ключа в цепи рассеивается мощность $P_1 = 90$ Вт. Через достаточно большой промежуток времени токи и напряжения перестают изменяться со временем. Ключ размыкают.

Какая мощность $P_2$ будет рассеиваться на резисторах цепи сразу после размыкания ключа? Внутреннее сопротивление батареи пренебрежимо мало по сравнению с $R$ В ответе укажите целое число [Вт].

Рисунок к условию

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Ни $E$ ни $R$ не даны — понадобится только комбинация $E^2/R$ Подумай, что в цепи не может измениться скачком в момент переключения ключа. Ниже можно сверить ответ в ваттах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеКлюч в перемычке

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ключ в перемычке

Какая мощность выделяется сразу после размыкания ключа и что в этот момент «помнит» конденсатор?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Напряжение на конденсаторе при переключении не меняется. Найди его до замыкания и при замкнутом ключе после установления (через конденсатор тока нет), а затем мощности сразу после замыкания и сразу после размыкания.

Подсказка 1

Напряжение на конденсаторе не может измениться мгновенно. Найди его до замыкания, когда через конденсатор тока нет, и посмотри, какие резисторы сразу после замыкания оказываются под напряжением: так $P_1$ связывается с $E^2/R$

Подсказка 2

Когда при замкнутом ключе токи перестали меняться, через конденсатор ток не идёт: правый и верхний резисторы соединены параллельно и последовательно с левым. Найди напряжение на конденсаторе — оно сохранится сразу после размыкания.

Разобрать решение по шагам

До замыкания и сразу после

Ключ долго разомкнут, токи не меняются — через конденсатор ток не идёт, а значит, и через верхний резистор, соединённый с ним последовательно. На верхнем резисторе нет напряжения: верхний узел имеет потенциал правого узла, и конденсатор заряжен до $E$

Сразу после замыкания заряд конденсатора прежний: чтобы изменить его мгновенно, нужен бесконечный ток. Верхний узел и средняя точка соединены ключом и имеют потенциал правого узла — на правом и верхнем резисторах напряжения нет. Ток идёт только через левый резистор под напряжением $E$ это конденсатор разряжается через него и ключ, батарея в этот момент тока не даёт. Поэтому

P_1 = \frac{E^2}{R}.

Ключ замкнут, токи установились

Через конденсатор тока снова нет. Правый и верхний резисторы соединены параллельно — вместе $R/2$ — и последовательно с левым. Ток через батарею $\dfrac{E}{1{,}5R}$ напряжение на левом резисторе $\dfrac{E}{1{,}5R}\cdot R = \dfrac23E$ . Конденсатор через ключ подключён параллельно левому резистору, поэтому

U_C = \frac23E.

Ключ замкнут, токи установились: через конденсатор тока нет, средняя точка и верхний узел под потенциалом

E/3

конденсатор заряжен до

2E/3

Сразу после размыкания

Напряжение на конденсаторе по-прежнему $\dfrac23E$ Средняя ветвь — два резистора последовательно под напряжением $E$ мощность $\dfrac{E^2}{2R}$ Верхняя ветвь — конденсатор и резистор: на резисторе $E - \dfrac23E = \dfrac E3$ , мощность $\dfrac{E^2}{9R}$ Всего

P_2 = \frac{E^2}{2R} + \frac{E^2}{9R} = \frac{11}{18}\cdot\frac{E^2}R = \frac{11}{18}\,P_1 = \frac{11}{18}\cdot 90 = 55 \text{ Вт}.

Сразу после размыкания конденсатор сохраняет

2E/3

ток идёт и по средней ветви, и по верхней — через конденсатор и резистор.

Проверка

Проверка: независимый расчёт ведёт цепь шагами по времени: напряжение конденсатора меняется по току через него, потенциалы узлов находятся из баланса токов, замкнутый ключ — очень малое сопротивление. От установившегося режима с разомкнутым ключом берётся мощность сразу после замыкания, через $40RC$ напряжение конденсатора $0{,}666667E$ затем мощность сразу после размыкания: $P_2/P_1 = 0{,}611111 = 11/18$ . Другие версии: ID 3936 — $\tfrac{11}{18}\cdot 36 = 22$ Вт; ID 3937 — $\tfrac{11}{18}\cdot 54 = 33$ Вт; ID 3938 — $\tfrac{11}{18}\cdot 18 = 11$ Вт.

Ответ

$P_2 = \dfrac{11}{18}\,P_1 = 55$ Вт.

Ответ

$P_2 = \dfrac{11}{18}\,P_1 = 55$ Вт.

Главная идея

Напряжение на конденсаторе при переключении не меняется скачком. До замыкания U_C = E, и сразу после замыкания ток идёт только через левый резистор: P₁ = E²/R. При замкнутом ключе в установившемся режиме U_C = 2E/3; сразу после размыкания P₂ = E²/(2R) + (E/3)²/R = (11/18)P₁.

Цепь с конденсатором и ключом: в момент переключения конденсатор держит прежнее напряжение (как батарейка), в установившемся режиме ток через него не идёт (как разрыв цепи).

Где легко ошибиться

Забыть, что конденсатор после размыкания заряжен, и считать только среднюю ветвь: E²/(2R) = 45 Вт. Другая ошибка — считать, что сразу после замыкания токи такие же, как в установившемся режиме: тогда P₁ = E²/(1,5R), и ответ получается в полтора раза больше.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 8, версия с ID 3935 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3936, 3937, 3938) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 10) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора, рисунок перерисован по нему. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электрические цепи →

Тема, знания и приёмы

Электрические цепи · Начальный вход

Конденсатор в цепи постоянного тока: напряжение не меняется скачком, в установившемся режиме тока нет
Последовательное и параллельное соединение, мощность U²/R

Приёмы решения: Узлы и эквивалентная цепь · Разбор случаев

Задать вопрос по задаче →