Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №6 — решение · Отборочный этап

Условие

Заряд $Q$ однородно распределен по сфере радиуса $R$ В первом опыте на расстоянии $2R$ от центра сферы помещают шарик с зарядом $q$ Сила, с которой заряженная сфера действует на шарик, $F_1 = 12$ мкН. Во втором опыте этот заряд $q$ однородно распределяют по стержню длины $L = R$ стержень помещают на прямой, проходящей через центр заряженной сферы. Ближайшая к центру сферы точка стержня находится на расстоянии $2R$ от центра.

Найдите силу $F_2$ с которой заряд сферы действует на заряженный стержень. В ответе приведите целое число [мкН]. Все силы, кроме кулоновских, считайте пренебрежимо малыми. Распределение заряда на сфере и стержне не изменяется.

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Сфера и стержень — не точечные заряды. Подумай, чем можно заменить сферу и как сложить силы, действующие на разные участки стержня. Ниже можно сверить ответ в микроньютонах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеСфера и стержень

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Сфера и стержень

Как сложить силы, с которыми сфера действует на разные участки стержня?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Замени сферу точечным зарядом в центре, разрежь стержень на маленькие кусочки и сложи силы: для кусочка от x до x + Δx сила (kQq/R)(1/x − 1/(x + Δx)).

Подсказка 1

Равномерно заряженная сфера действует на заряды снаружи так же, как точечный заряд $Q$ в её центре: $F_1 = \dfrac{kQq}{(2R)^2}$ . А разные участки стержня находятся на разных расстояниях от центра — от $2R$ до $3R$

Подсказка 2

Разрежь стержень на маленькие кусочки длины $\Delta x$ с зарядом $\dfrac qR\,\Delta x$ Все силы направлены вдоль одной прямой, их модули складываются. Для кусочка от $x$ до $x + \Delta x$ замени $\dfrac1{x^2}$ на $\dfrac1{x(x + \Delta x)} = \dfrac1{\Delta x}\left(\dfrac1x - \dfrac1{x + \Delta x}\right)$ — что останется от суммы?

Разобрать решение по шагам

Сфера — как точечный заряд

Равномерно заряженная сфера действует на заряды снаружи так же, как точечный заряд $Q$ в её центре. Поэтому в первом опыте

F_1 = \frac{kQq}{(2R)^2} = \frac{kQq}{4R^2},

а на заряд $q$ помещённый на расстоянии $x$ от центра, действовала бы сила $F(x) = \dfrac{kQq}{x^2}$ — она быстро убывает с расстоянием.

Сила на стержень — сумма сил на кусочки

Разрежем стержень на маленькие кусочки длины $\Delta x$ заряд каждого $\dfrac qR\,\Delta x$ Все силы направлены вдоль одной прямой — от центра сферы, — поэтому их модули складываются. На коротком кусочке от $x$ до $x + \Delta x$ можно взять $\dfrac1{x^2} \approx \dfrac1{x(x + \Delta x)}$ , и сила на него

\Delta F = \frac{kQq}{R}\cdot\frac{\Delta x}{x(x + \Delta x)} = \frac{kQq}{R}\left(\frac1x - \frac1{x + \Delta x}\right).

В сумме по всем кусочкам соседние слагаемые сокращаются, остаются только концы стержня:

F_2 = \frac{kQq}{R}\left(\frac1{2R} - \frac1{3R}\right) = \frac{kQq}{6R^2}.

Сумма не зависит от числа кусочков. Настоящая сила зажата между такими же суммами с $\dfrac1{x^2}$ и с $\dfrac1{(x + \Delta x)^2}$ , а они при мелких кусочках сходятся — значит, результат точный. Это тот же интеграл $\displaystyle\int_{2R}^{3R} \frac{kQ\,(q/R)\,dx}{x^2}$ .

Сила на стержень — сумма сил на его кусочки, то есть средняя высота графика

F(x)

на отрезке от

2R

до

3R

она больше силы в середине стержня.

Ответ

\frac{F_2}{F_1} = \frac{kQq/(6R^2)}{kQq/(4R^2)} = \frac46 = \frac23, \qquad F_2 = \frac23 \cdot 12 = 8 \text{ мкН}.

Сила такая, как если бы весь заряд стержня собрали в точке на расстоянии $\sqrt{2R \cdot 3R} = \sqrt6\,R \approx 2{,}45R$ от центра — ближе середины стержня $2{,}5R$ ближняя половина стержня прибавляет к силе больше, чем дальняя отнимает.

Проверка

Проверка: независимый расчёт заменяет сферу 6000 одинаковыми точечными зарядами, равномерно разбросанными по поверхности, а стержень — 500 кусочками и складывает силы Кулона между ними, не пользуясь заменой сферы точечным зарядом: отношение силы на стержень к силе на шарик $0{,}666667$ $F_2 = 8{,}00$ мкН. Ещё одна проверка — через потенциал сферы: сила на кусочек $\dfrac qR\,\Delta x \cdot E(x)$ , а сумма $E\,\Delta x$ вдоль стержня — разность потенциалов его концов: $F_2 = \dfrac qR\left(\dfrac{kQ}{2R} - \dfrac{kQ}{3R}\right) = \dfrac{kQq}{6R^2}$ . Другие версии: ID 3928 — $\tfrac23 \cdot 9 = 6$ мкН; ID 3929 — $\tfrac23 \cdot 6 = 4$ мкН; ID 3930 — $\tfrac23 \cdot 3 = 2$ мкН.

Ответ

$F_2 = \dfrac{kQq}{6R^2} = \dfrac23\,F_1 = 8$ мкН.

Ответ

$F_2 = \dfrac{kQq}{6R^2} = \dfrac23\,F_1 = 8$ мкН.

Главная идея

Снаружи сфера действует как точечный заряд в центре. Сила на стержень — сумма сил на его кусочки; для силы, убывающей как 1/x², сумма по отрезку от 2R до 3R сворачивается: F₂ = (kQq/R)(1/2R − 1/3R) = kQq/(6R²) = (2/3)F₁ — как будто заряд стержня находится на расстоянии √(2R·3R), а не в середине.

Заряд или масса распределены по отрезку на одной прямой с точечным источником — делим на кусочки и складываем; для закона 1/x² сумма по отрезку от a до b даёт 1/(ab) вместо 1/x² в середине.

Где легко ошибиться

Поместить весь заряд стержня в его середину, на 2,5R: 12·4/6,25 = 7,68 мкН. После округления до целого получаются те же 8 мкН (и в других версиях тоже: 5,76 → 6, 3,84 → 4, 1,92 → 2), но рассуждение неверное: сила убывает как 1/x², и ближняя половина стержня прибавляет больше, чем дальняя отнимает. Точная сила — 8,00 мкН.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 6, версия с ID 3927 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3928, 3929, 3930) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 7) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 2 ↗).

Продолжить тему: Электростатика →

Тема, знания и приёмы

Электростатика · Начальный вход

Поле равномерно заряженной сферы снаружи — как у точечного заряда в центре
Закон Кулона, сложение сил

Приёмы решения: Симметрия и попарное соответствие · Телескопическое сокращение

Задать вопрос по задаче →