Физтех 2024/25 · Физика · 11 кл., №3 — решение · Отборочный этап

Условие

Какую мощность $P$ развивают двигатели ракетной системы «Saturn-5» — «Apollo-11», медленно поднимающейся над стартовой позицией? Масса системы $M = 3000$ т, скорость истечения газов $U = 2{,}6$ км/с. Ускорение свободного падения $g = 10$ м/с². В ответе укажите целое число [ГВт].

О задаче · 11 класс

Олимпиада: Физтех (МФТИ)
Этап: Отборочный этап, третий тур (3 попытка)
Предмет / класс: Физика · 11 класс
Сезон: 2024/25

Ракета почти не движется — куда же тогда идёт мощность двигателей? Подумай, что каждую секунду происходит с выбрасываемым газом. Ниже можно сверить ответ в гигаваттах.

Записать идею

Личный черновик для заметок и расчётов. Он никуда не отправляется и не проверяется.

Исследуй задачу

Самостоятельное исследованиеРакета над стартовым столом

Пробуй свои варианты. Разбор останется закрытым.

Исследуй задачу

Ракета над стартовым столом

Сколько газа в секунду нужно выбрасывать, чтобы ракета поднималась медленно, и какую энергию этот газ уносит?

Если модель не открылась (выключен JavaScript или страница загрузилась не полностью), условие, подсказки и разбор доступны и без неё.

Подсказка для решения без модели

Если модель не открылась, попробуй так. Из равенства тяги и веса найди массу газа, выбрасываемую за секунду, μ = Mg/U, и посчитай кинетическую энергию этого газа μU²/2.

Подсказка 1

«Медленно поднимается» читаем как почти равномерный подъём: принимаем, что ускорение ракеты пренебрежимо мало, $|a| \ll g$ (это отдельная идеализация — сама по себе малая скорость малого ускорения не гарантирует). Тогда сила тяги равна силе тяжести. Сила тяги равна $\mu U$ где $\mu$ — масса газа, выбрасываемая за секунду. Найди $\mu$

Подсказка 2

Ракета почти неподвижна, поэтому работа двигателей идёт на разгон газа: каждую секунду масса $\mu$ получает скорость $U$ Мощность — кинетическая энергия, которую газ получает за секунду.

Разобрать решение по шагам

Принятые допущения

Подъём квазистационарный, почти равномерный: |a| ≪ g и V ≪ U — принятая идеализация слова «медленно» (так же читает условие официальное решение), а не следствие малой скорости; при заметном ускорении тяга была бы M(g + a) и мощность больше.
Скорость истечения U — относительно ракеты; изменением массы ракеты за время подъёма пренебрегаем; мощность — механическая мощность струи (на нагрев газа энергия в условии не учитывается).

Сколько газа выбрасывают двигатели

За время $\Delta t$ двигатели выбрасывают массу $\mu\Delta t$ со скоростью $U$ относительно ракеты — импульс газа меняется на $\mu\Delta t\,U$ и такой же импульс получает ракета. Сила тяги $\mu U$ Условие «медленно поднимается» принимаем как квазистационарный подъём: ускорение ракеты пренебрежимо мало, $|a| \ll g$ а её скорость $V \ll U$ Это принятая идеализация (так же читает условие и официальное решение): малая скорость сама по себе ускорения не ограничивает — сразу после старта ракета может иметь почти нулевую скорость и заметное ускорение, и тогда $\mu U = M(g + a)$ При $|a| \ll g$

\mu U = Mg,

откуда

\mu = \frac{Mg}{U} = \frac{3 \cdot 10^6 \cdot 10}{2600} \approx 11{,}5 \cdot 10^3 \ \text{кг/с}.

Мощность — энергия газа за секунду

Скорость ракеты мала, её механическая энергия почти не меняется. Вся работа двигателей уходит на газ: каждую секунду масса $\mu$ покоившаяся относительно ракеты, вылетает со скоростью $U$ и уносит кинетическую энергию $\mu U^2/2$ Значит,

P = \frac{\mu U^2}{2} = \frac{Mg}{U}\cdot\frac{U^2}{2} = \frac{MgU}{2}.

Почему не «сила × скорость газа» $MgU$ Потому что каждый килограмм газа уносит энергию $U^2/2$ а не $U^2$ множитель $1/2$ — из формулы кинетической энергии порции $\mu\Delta t \cdot U^2/2$ Ссылка на «среднюю скорость $U/2$ » потребовала бы знать закон разгона газа внутри двигателя, поэтому мы на неё не опираемся.

Тяга уравновешивает вес при почти равномерном подъёме (

|a| \ll g

); каждую секунду масса

\mu

газа вылетает со скоростью

U

и уносит кинетическую энергию

\mu U^2/2

— это и есть мощность.

Ответ

P = \frac{MgU}{2} = \frac{3 \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 2{,}6 \cdot 10^3}{2} = 3{,}9 \cdot 10^{10} \text{ Вт} = 39 \text{ ГВт}.

Это около сорока энергоблоков атомных электростанций мощностью по 1 ГВт.

Проверка

Проверка балансом энергии в системе Земли: ракета поднимается со скоростью $v = 0{,}5$ м/с, за секунду её потенциальная энергия растёт на $Mgv$ а выброшенный газ массой $\mu$ имеет скорость $U - v$ вниз; рост полной механической энергии за секунду $Mgv + \mu\left((U - v)^2 - v^2\right)/2$ при $\mu U = Mg$ ровно равен $\mu U^2/2$ при любой малой $v$ Численный расчёт шагами по времени, в котором масса газа в секунду подобрана так, чтобы скорость ракеты не менялась, даёт $38{,}9985$ ГВт (крошечная разница — ракета за время расчёта теряет часть массы). Другие версии: ID 3916 — $2{,}8 \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 2500/2 = 35$ ГВт; ID 3917 — $3{,}2 \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 3000/2 = 48$ ГВт; ID 3918 — $3 \cdot 10^6 \cdot 10 \cdot 2800/2 = 42$ ГВт.

Ответ

$P = \dfrac{\mu U^2}{2} = \dfrac{MgU}{2} = 39$ ГВт.

Ответ

$P = \dfrac{\mu U^2}{2} = \dfrac{MgU}{2} = 39$ ГВт.

Главная идея

Почти равномерный подъём (принято |a| ≪ g, V ≪ U) — тяга равна весу: μU = Mg. Ракета почти неподвижна, поэтому мощность двигателей — кинетическая энергия, которую газ получает за секунду: P = μU²/2 = MgU/2, вдвое меньше «силы на скорость газа» MgU.

Мощность реактивного двигателя неподвижной или медленной ракеты — энергия выбрасываемого газа за секунду, μU²/2; масса газа в секунду находится из равенства тяги и веса.

Где легко ошибиться

Умножить силу тяги на скорость газа: MgU = 78 ГВт — вдвое больше. Каждый килограмм газа уносит кинетическую энергию U²/2, а не U²: множитель 1/2 — из формулы кинетической энергии. Другая ошибка — умножить тягу на скорость ракеты: она почти нулевая, но двигатели работают на полную мощность.

Источник и авторство

Олимпиада «Физтех» · физика · 11 класс · 2024/25 · отборочный этап, третий тур (3 попытка). Задача 3, версия с ID 3915 — первая в официальном файле; другие версии этого номера (ID 3916, 3917, 3918) можно выбрать в модели.

Официальные условия (PDF организатора, стр. 3) ↗ · Указания к решению от организатора ↗ · Архив заданий олимпиады ↗

Условие — из официального файла организатора. Подсказки, решение и модель — Popov Academy. Авторское решение записано до знакомства с указаниями организатора; затем ответы всех четырёх версий совпадают с результатом подстановки данных в формулу из указаний организатора (числовых ответов по версиям в указаниях нет) («Решения Ф11 3 попытка 2024», стр. 1 ↗).

Продолжить тему: Энергия и импульс →

Тема, знания и приёмы

Энергия и импульс · Нужна школьная база

Реактивное движение: сила тяги μU
Кинетическая энергия, мощность

Приёмы решения: Закон сохранения импульса · Закон сохранения энергии

Задать вопрос по задаче →